En supposant praticables pour la pseudo-fonction

u = ^Km, x)

tous les chemins à considérer, point que nous éclaircirons dans un instant (III, inf.)y nous aurons ce qui suit.

I. Cette fonction satisfait à V équation différentielle d^ ordre quelconque k

^'^^ -rf^"=«("»-0...(m-A--hi)i^..

Pour toute valeur réelle commensurable — = u. du paramètre ÎR,

le premier développement de tj; (m, :r) satisfait certainement à cette

équation, car il est alors celui même de//—, x\ construit sous

la condition numérique :ro=-Wo=i? qui satisfait, comme nous

l'avons vu, à l'équation (5), forme correspondante de celle-ci.

D'autre part, en substituant à m le premier développement

de if{X(if x), savoir ç(ni, i -{- x — i), série dont tous les coefficients sont des polynômes entiers en m, à -^ son développement

par la formule de Taylor à partir de a; = i , les deux membres de cette équation se transforment en des séries entières en (x — i) dont les coefficients sont tous évidemment aussi des polynômes

entiers en Ht; et l'égalité identique de ces deux séries pour m = —

entraîne l'égalité numérique indéfinie pour les mêmes valeurs de tn, des polynômes entiers qui dans les deux membres servent de coefficients à des puissances semblables de ^ — i. Les valeurs inégales de ce genre qu'on peut attribuer à Ul étant en nombre évidemment illimité, les polynômes dont il s'agit sont égaux entre eux pour toutes valeurs de îll (79); par suite, les premiers développements des deux membres de l'équation (i8) sont égaux identiquement pour toutes les valeurs imaginables de m. Tous