CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

leurs développements ultérieurs sont donc aussi identiquement égaux (177*), ce qui est précisément le point à établir.

II. Ainsi qu'au n° 71, V, on en déduit immédiatement pour le développement de ^(W, x^^ à partir de x =^ jt/,

(19) iKm, x) = M/ç ^m, I H- ^— j »

où Ui représente toujours la valeur acquise antérieurement par t!/(in, x) en Xi.

III. Pour m non entier nul ou positif, la série ç(ltî, 1 4- t) ayant i pour rayon de conv.ergence maximum (78, III), le développement (19) reste valable pour toute valeur de x intérieure au cercle de centre xi et de rayon = mod j?/, et cesse de Vétre en dehors.

Il en résulte évidemment qu'on peut arriver par cheminement à toute valeur de x non nulle, en d'autres termes que ^(ni, x) est localement olotrope partout ailleurs qu*en x = o.

Mais cette fonction cesse d'être olotrope en x = 0, car autrement elle le serait indéfiniment, et le rayon de convergence du développement (19) serait illimité (206*) au lieu d'avoir modxi pour valeur maximum.

Pour elle comme pour/( — > x), les seuls chemins praticables

sont donc ceux dont aucun sommet ne coïncide avec l'origine Oj?, et dont la longueur de chaque côté est inférieure à la distance de son sommet antérieur à cette origine.

IV. Pour aucune valeur de x non = o, la fonction A ne peut s'évanouir. Car, si l'on avait Ui = o^ on aurait, d'après la formule (19), 'i(ni, x)^=o identiquement, ce qui n'est pas, puisque son premier développement contient certainement des coefficients non nuls.

V. On notera que la série cp(m, 1 -\- t) n'est pas autre chose que la valeur de ^(llt, x) à l'extrémité du segment rectiligne allant de j: = I k X = i-{- 1.

VI. En considérant le paramètre Hl comme une seconde variable

indépendante, et en ayant égard à l^alinéa FV du n° 78, la fonction ^'(ni, x) est localement olotrope pour toutes valeurs de VX associées avec toutes celles de x, sauf x = o.

81. L'artifice employé ci-dessus (80, 1) fournit aussi facilement Textension à la pseudo-fonction '{^(lîl, x)^ des propriétés générales