I. Avec les notations du n° 74, on a identiquement

pourvu seulement que la notation du premier membre s'applique à la valeur de ^(Wl, x) au bout du chemin que font décrire à x = x'^'x"^' . . . les marches simultanées dex'^ x^, . . . à partir de i , i , ....

Quand lU se réduit à une quantité commensurable quelconque — .

cette relation est un simple cas particulier de Tidenlité (lo) parce que pour j7'= x" = . . . = x'^' x"^' . . . =: i les deux membres prennent les valeurs initiales i = i"^!^". . . .

Comme, d'autre part, les premiers développements des deux membres en séries entières par rapport aux différences x' — i, x!' — I, ..• ont évidemment pour coefficients des polynômes entiers en Ht, leur identité pour lit commensurable impose la condition d'être numériquement égaux pour toute valeur de lit réelle commensurable, à deux quelconques de ces polynômes servant de coefficients à des termes semblables dans le premier membre et dans le second.

Deux semblables polynômes sont donc égaux quelle que soit la valeur du paramètre îîl (79), d'où résulte l'identité (20) pour les premiers développements de ses deux membres, et par suite pour tous ceux qui peuvent lui succéder (177*).

II. En conservant les notations du n® 75, on a au bout d^un même chemin quelconque , et cela quelles que soient les quantités tlt| , . . . , tn^,

(21) ^/(Kiin,-h. . .-f- K^m^, x) = [^^(mi, x)^^ . . . [i^(in^, x)\^g.