CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

d'abord que |x soit > o, mais inférieur à i ainsi qu'à > en appelant T la valeur numérique de /, puis considérons la série

dont les termes décroissent évidemment sans cesse et sans limite^ en valeur absolue.

Si / est positif, tous les termes sont positifs et négatifs alternativement à partir du premier, la somme de la série est une quantité positive (101*), et ?((x, i 4- /) = i -[- 6 en est une autre > i .

Si t est négatif, tous les termes de la série (34) le sont aussi, et la somme de leurs valeurs absolues, inférieure à

[IZ -h |JLT* ■+■ fJLT» -4- . . . = JJl — * ^ ?

Vesi à fortiori à i, en vertu de Thypothèse faite sur la valeur de (x; G est donc une quantité négative dont la valeur absolue est <C 1 , et C5({JL, I 4- /) = 1 + S est une quantité positive <C ' •

La même conclusion subsiste pour toute valeur positive de |jl;

car, en appelant K un entier positif >► |x et >> ^> ^ est <! i

et< ^-^; àcausedeo([x, i 4-/) = i([x, 1 4-0(^0? V), onadonc (81, 11)^

où, par ce qui précède, la quantité entre crochets est positive^ et^i selon que t est^o.

En supposant enfin u.<o, — |jl est >>o, et Ton vient de voir que ©( — u, 1 -h ^) est positif et ^ i selon que t est ^o ; on a donc

II. La relation (33) est maintenant évidente (80, II), à cause de

H = cp ( [JL, IH -^ ) = ?(|^, i -h e).