CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE
fait qu'imprimer à Tensemble des points correspondants une certaine rotation autour de l'origine (86*).
II. Pour faciliter le langage, nous appellerons un instant jortmaire, toute quantité ayant ses deux éléments positifs, et aussi pente d'une pareille quantité, le rapport (toujours positif) de son second élément à son premier.
1® Deux quantités primaires a=^a' -{- ia"^ 6 = 6'-f- ib" de pentes w, y^ étant données, leur produit a toujours son second élément positif, et son premier élément est négatif, nul ou positif selon qu^on a
tiTx|i.
Dans ce dernier cas, le seul oit le produit soit aussi pri^ maire, sa pente est supérieure àm-\- y.
On peut effectivement écrire
ah = (i — By^)a'6'-4- i{'m -^fja'b'^
et dans le dernier cas on trouve pour valeur de la pente du produit la quantité
2** Si Ts > y, le quotient j est primaire et de pente inférieure km — y; car on a de même
et la pente de ce quotient est la quantité
3® Si les quantités
(36) a,, aj, ..., a
er
sont toutes primaires, ainsi que les produits de 2, 3, . . ., ^ d'entre elles prises au hasard, la pente de leur produit total
(Il Q>% . . . (Xg
diminue toujours, quand on diminue celles de quelques Jacleurs sans augmenter celles des autres.
L'observation ci-dessus (i**) rend ce point évident pour un produit de deux facteurs, puis pour un produit de trois facteurs, considéré comme le produit partiel de deux d'entre eux par le troisième; et ainsi de suite.
4° Pour que tous les produits a à 2, 3 à' 3, ... des quantités primaires (36) soient aussi primaires, il suffit que les seuls produits partiels.
le soient tous,
La pente de a^a^ surpasse la somme de celles de ai et de ai(i^); pour la même raison celle de aia2a3 = (^1^2)^3 surpasse la somme des pentes de ai, as, a^ el, à plus forte raison, chacune d'elles. On en conclut (2°) que les produits
ai <i\
sont comme a^ a^ tous deux primaires.
En considérant ensuite le produit a^ a^ a^ a^ , on prouve de même que a3a4, aia4, a2a4 sont primaires comme aia2^ a2ai^ a^a^y ainsi que a2a3a4, a4a3a4, aia2a4; et ainsi de suite.
5® Une quantité primaire A de pente quelconque II est décomposable en facteurs primaires dont les pentes ne surpassent pas la quantité positive nr, si petite qu^elle soit, et dont les produits 2 à 2, 3 à 3, ... sont tous primaires aussi.
Si, a désignant quelque quantité primaire de pente gj, les quantités
A. A . Ai a .a
, Ai=— , A, = -- = —, ..«, A^=-—
a Cl a^ Ofi
sont toutes primaires, on a sûrement §"< -» puisque (2®) leurs pentes 11^ IIi, . . . , 11^ satisfont aux inégalités
IIi<n— ro, IIi<IIi — TîT<II — ain, ..., II^<II — ^w.
On peut donc assigner au-dessous de - > un entier G tel, que A, A|, . . • , A(; soient toutes primaires, mais que Ag+, ne le soit plus.
