CHAPITRE m. — FONCTION RADICALE SIMPLE

Il en résulte que la pente de A^ ne surpasse pas w, et la dernière des relations

opère évidemment la décomposition cherchée (4°)«

III. 1° Quand une quantité est de la forme iSH . c'est-à-dire quand son premier élément est nul, l'autre positif, le quotient de sa dis^ision par une quantité primaire quelconque a! ^t- ic^ est encore primaire.

On a effectivement

t'A' Ajri' . A" a'

a' 4- ia" " a'î -i- a"» "^ * a'» -f- a"» '

2** Toute quantité de la forme iA" est susceptible de la décomposition exécutée ci-dessus (II, 5**).

Si a désigne toujours une quantité primaire de pente gj, le quo-

«A' tient — est aussi primaire (i°), et il peut être décomposé en facteurs ai, «2, . . ., afii tous primaires et de pentes non*>-Tîi, dont les produits a à a, 3 à 3, ... sont primaires aussi (II, 5^). On a

donc

t'A' = aai «2 . . . a/i,

et tous les facteurs sont primaires, ainsi que leurs produits partiels 2 à a, ... , que ceux-ci contiennent a ou non. Car cette propriété appartient déjà aux produits partiels du second genre, et elle s'étend à ceux du premier, puisqu'ils peuvent être considérés comme les quotients de iA? par ceux du second genre (i**).

IV. I® On peut décomposer i en facteurs primaires, eux et tous leurs produits partiels, dont les pentes sont toutes inférieures à \j et dont les modules sont tous égaux à i .

On peut effectivement poser (III, a°)

* = QiQj...Q(7,

où les quantités Qi, Q2, ••., Qa sont primaires, elles et tous leurs produits partiels, avec des pentes toutes inférieures à i.

Comme on a ainsi

mod Qi . mod Qj . . . mod Q j = mod t = i , et comme les quantités

^*~"inodQ,' *"• ^'"raodQa

ont des modules tous égaux à i, avec des pentes égales à celles de Q<, . . ., Q<j respectivement, la formule

opère évidemment la décomposition voulue.

2** Quand on augmente la pente de la quantité primaire q z:^ q' -\- i(^' en laissant à son module la valeur i, q' décroît et q^ croit.

La relation

permet effectivement d'écrire

99. Si la quantité primaire q ^q' -y- iq" a son module = i avec une pente <C.i, on a

inod(9' — 1)< I.

Car la relation (38) donne d'abord

[moâ(ç - i)p = (q'-iy -h q'^ = 2(1 - q\

puis

puis, par sa combinaison avec ^ < i ou bien q[^^ <; y'^^ d'où finalement