CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

Il en résulte qu*onpeut calculer t}^(ix, q) par un seul pas fait de X =^\ à X = qy au moyen de la formule

Cela posé, nous avons encore à reconnaître que, si ix est compris entre o et i, ^{^((x, q) est une quantité primaire de pente inférieure à celle de q.

Pour cela nous substituerons à la marche directe de i à ^ deux pas faits, le premier de x =: i k x = q' sur l'axe des quantités réelles, le second de x = q' k x^=^q*--^i^^ ce qui est évidemment permis et donne (80, II)

y désignant la pente de 7, supposée •< i.

Les éléments '^ , "<p du second facteur sont immédiatement fournis par les formules

où, à cause de X<C'^ [^<C'î ^^^ termes des séries entre crochets sont positifs et négatifs alternativement à partir des premiers, et décroissent sans cesse et sans limite. Les sommes de ces séries sont ainsi des quantités positives inférieures à leurs premiers termes; 'ç, "cp sont donc des quantités positives, la première ]]> 1, la dernière < |jl-^, et ç([x, i -|- «y) est ainsi une quantité primaire de pente inférieure à jxy.

Quant au premier facteur 4^([x, <7'), il est réel, positif (94). Le second membre de la relation (89) est donc aussi une quantité primaire, et sa pente est égale à celle de son second facteur, c'està-dire inférieure à (xy, à plus forte raison à y.

100. Considérons maintenant les quantités formées comme il suit avec les facteurs de la formule de décomposition (87)

37^0)=:,^ a;(i) =^,, ar^i) — q^q^, ..., x^^^ =q\qi-.»qa= «,

De x^^^ à :r^*+*^ on marche, quel que soit A*, dans le sens de rotation direct; car on a toujours j:^*+*^ == ar^^^^r, q désignant l'un on l'autre des facteurs Çi, Çi, • . ., q^ tous primaires et, par suite, pourvus de seconds éléments positifs (98, I).

On a

mod ,,, =mod(7 — i)<i,

parce que mod<7 = i et que la penle de q est toujours < i (99).

Enfin la ligne brisée fermée qui a tous les points correspondants pour sommets enveloppe une seule fois l'origine. Effectivement, de :r^®^ = i à x^^'^ = /, on marche à l'intérieur de l'angle formé par les parties positives des axes, parce que x^*\ . . . , x^^-*^ sont toutes des quantités primaires; de x^^^ = i à a;^^^^== — i, on marche dans l'angle formé par la partie positive de l'axe des seconds éléments avec la partie négative de Tautre, parce que les quantités x^^^^^ = ix^*\ . . . , x^^a-o ^^ i*^(<T-0 ont leurs premiers éléments tous négatifs et leurs seconds tous positifs. De x^^^^ = — i ^^(3(y) -- — i^ piijg dex^^^^ = — ièiX^*^^ = i, on marche enfin dans l'angle des parties négatives des axes, puis dans celui de la partie négative du second avec la partie positive du premier, ce dont on s'assure de la même manière.

Il résulte de tout ceci que les quantités (^o) peuvent être prises pour sommets de Vanneau [O^] du n^ 87.

En adoptant ce tracé et en ayant égard aux formules (3i), (4o), on trouve immédiatement la suivante

que nous écrirons (81, II)

(42) *(fl)=<p(4tX, I -+-5^1—1)... 9(4 jx, l^~g~^).

101. Cette dernière rend facile la discussion de ^([x), qui se résume comme il suit.