CHAPITRE ni. — FONCTION RADICALE SIMPLE

ce qui est évident (78, II), et

cfoù plus généralement, en appelant E un entier quelconque {positif, nul ou négatif),

La formule (42) donne effectivement

*(7) = ?('' n-<7i— i)...?(i, n-^(j— «j = ^1^1- • 3^(1= «\ à cause de (p(i, 1 -|- /)= i 4- / (79). II. Quel que soit (x, on a donc (91 )

et

(43) *(Eh-|x)=*(E)*(|x) = *(jx).

La première formule ramène le calcul de ^([x) au cas où [x tombe entre o et 7- La seconde montre que de[x = Eà[jL = E-i-i,

4>([jl) reprend les mêmes valeurs que de (x ^ o à [jl = i.

m. Pour des valeurs de [jl comprises entre o et jy 4>(jjl) est

une quantité primaire dont la pente varie dans le même sens que [JL.

Car, 4p» étant positif et < 1, les facteurs du second membre de la formule (4^) sont tous des quantités primaires, de pentes inférieures à celles de gr,, q^y ..., q^ respectivement (99). Si donc g désigne quelque entier inférieur à o-, les produits partiels des g premiers facteurs et des o- — g derniers sont deux quantités primaires de pentes inférieures à celles de q\qi- • •qg et M. — II. 7

^® 9g-¥i y^+2 ' • ' 7<ï respectivement (98, II, 3**), Comme le produit de ces dernières pentes est =i à cause de

celui des pentes des produits partiels en question est <I i ; le produit de ces produits partiels, c^est-à-dire ^(;a), est donc une quantité primaire.

Soient maintenant |jl, A|x et |jl + Ap. trois quantités positives

inférieures k -; ^(p-), 4>(A|jl), 4>([jl -+- Ajx) sont trois quantités

primaires, et la pente de la dernière surpasse celle de la première (98, If, I*») à cause de

IV. Si Von fait croître ^de oà i dans les intervalles successifs

Oa^j 7»-» -a-;» T*!,

et si Von représente les éléments de ^([a) par '<ï>(|x), "^(j^^) : I® '^((x)/?a55e, en variant chaque fois dans un sens constant,

de i à o, de o à — ly de — i à o, de o à i;

2° ^^{l>') passe de la même manière, de o à \ ^ de i à o^ de o

à — \y de — I à o.

Dans le premier intervalle, '^{^) décroît de i à o, et''^^([jL) croît

de o à I, parce qu'on a <l>(o)= i, ^f i j= i (I), et qu'entre ces

valeurs extrêmes, ^{y-) ^^^ ^^^ quantité primaire^ de module i, dont la pente croît sans cesse (HI), (97), (98, IV, 2**).

La discussion des autres intervalles se ramène ensuite à celle du premier, par l'emploi des formules

4> ^i 4- {X^ = i«*( ji.) = -'*(^)- i'*(Hi), * ^? -+- ,x) = t»*(|JL) = '<|»(|x)- r4>(tJi).

V. Comme ainsi de o à 1 , *(tx) n'est égal à i que pour |x = o