CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

OU =1, la relation (43) montre que les nombres entiers (de valeurs et de signes quelconques) sont les seules valeurs de |jl qui puissent donner <I>([jl) = i .

VI. Les quantités ^([Ji), ^( — u) sont toujours conjuguées. Car toutes deux ont i pour module (97), et leur produit

*(lx)*(-;x)=*(o) = l

se réduit au carré de leur module commun (73*).

VU. La considération du point qui représente graphiquement la valeur de ^([x) donne lieu aux observations suivantes :

I ** Ce point est toujours situé sur la circonférence de rayon i , qui a son origine pour centre (97).

2*» Quand |x crott rfeEàE-Hy* E4--, E-f--, E-f i, il passe

de i à iy — I, — /, ï^ en exécutant sur cette circonférence une seule révolution de sens direct autour de r origine (IV).

3° Quand (x décroît de E à E — -, E > E — rt E — i , //

passe de i à — /, — i , /, i , par une seule révolution rétrograde (Yl), (IW).

4** Les points qui correspondent à des valeurs de \l en progression arithmétique de raison quelconque h sont les sommets d^une ligne brisée régulière de côté [mod^(A) — i], inscrite dans la même circonférence. Les relations ^ ( (x -|- A ) = <ï> ( ja) ^ (A) et mod^([x) = 1 donnent effectivement

mod[*(|H-A)— 4>(fA)] = inod4>(fjt)mod[*(A)-- 1] = mod[*(/i)— i].

VIII. Le développement des facteurs de l'expression (4»), opéré comme nous l'avons expliqué au n^85, fournirait celui de ^(p^) en une série entière en [x, de convergence illimitée (Cf 90). Mais la théorie de la fonction exponentielle nous conduira à un résultat beaucoup plus net (212, inf).

102. Relativement aux valeurs finales de ({/([x, x) au bout des divers chemins qui conduisent de â;o = 1 à X, on a ce théorème :

Quand [x est un entier (de valeur et de signe quelconques),

toutes ces valeurs sont égales, et 4'([Jl, x) est monodrome.

Quand jjl est une fraction irréductible — de dénominateur m> i^ i^{^, x)a précisément m valeurs finales distinctes et par suite tt^ est pas monodrome.

Quand \k '^est incommensurable , toutes les valeurs finales de <j>(|Ji, x)sont différentes les unesdes autres, et cette fonction n^ est pas monodrome,

I. La relation générale (Sa) du n^ 91 donne au rapport des termes de la progression géométrique (3o) du n° 89, où l'exposant de ^([a) a les valeurs inégales A"«, A'a, la forme

Si donc [JL est un entier, {k^ — k^)^- en est un autre, et ce rapport se réduit toujours à i (101, I). L'identité 'Kix, a:) = xl*, existant dans ce cas particulier (79), rendait facile la prévision de cette conclusion.

IL Si [JL = — , et parce que n est supposé premier à m, laquantité (^2 — A-|) — ne peut être un entier, et par suite (101, V)

4> {k^ — ^** ) ~" ne peut se réduire à i , que si A'2 — k\ est divisible

par m.

Il en résulte que les m valeurs finales de A f — > x]

sont inégales, mais que chacune des autres est égale à quelqu'une de celles-ci. Les termes de la progression (3o) du n** 89 se reproduisent indéfiniment à m rangs de distance.

IIL Si [X est incommensurable, {k^ — ^Ol^ ^^ peut se réduire à un entier, ni par suite ^[(A'a — ^*i)H^] à i; deux termes quelconques de la même progression sont donc toujours inégaux.

103. Quand x tend vers o, ^([a, x) est infiniment petite ou infinie selon qu^on a jx^o.