CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

On a toujours modt{y(pL, j:) = '|([jl, Ç), valeur atteinte par un cheminement exécuté de i à ^:=mod^ sur la partie positive de Taxe des quantités réelles (95). Nous savons en outre que la variation de ^(p(>, i)est toujours de sens identique ou contraire à celui de la variation de Ç selon qu'on a (x^o (93), et qu'à des valeurs de X en progression géométrique, correspondent toujours des valeurs de 'Kjx, x)^ en progression géométrique aussi (84).

Faisons donc tendre ç vers o, par des valeurs en progression géométrique décroissante. Dans le premier cas, celle que forment les valeurs de ^([a, Ç) est décroissante, et Ton a lim'|(|jL, x) = 0. Dans le second cas, cette progression est croissante, et ^}'([x, x) est infinie.

104. Quand [x n!est pas un entier positif [ou nul), toute dérivée de 'Kjjl, x), dont l'ordre k surpasse [jl numériquement , est infinie en x = o. C'est ce qui résulte de la proposition cidessus et de la formule (2a) du n° 82, où aucun facteur numérique ne peut s'évanouir dans le second membre.

Cette simple observation prouverait qu'alors ^([x, x) ne peut être olotrope en x = o (165*) (C/. 71, VI; 80, III; 102).

105. Pour des valeurs infinies de x, ^{^^ J^) ^st infinie ou infiniment petite selon qu^on a [x^o.

On raisonnera comme au n° 103, à cela près qu'on attribuera à i des valeurs en progression géométrique croissante.

Résolution numérique de l'équation binôme. — Racines de l'unité. 106. U équation binôme numérique

où l^ exposant m est un entier positif, se résout comme il suit.

Quand X est = o, elle a pour racine unique u ^= o, au degré m, de multiplicité (3).

Quand X est ^z^o, en appelant U la valeur acquise par

♦|> f — > J7 j au bout de quelque chemin tracé à volonté de x =z i

à ;r = X, elle a pour seules racines, toutes simples, les m quantités non nulles et toutes inégales (102, II)

(2) U, ^f-^U, *«f-)u ^//«-ifl'^u,

ou bien, ce qui radient au même (91),

Le monôme u'^ ëlant une fonclîon indéfiniment olotrope de i/, le théorème du n° 11 est applicable à l'équation dont il s'agit.

La dérivée première de u'" est mu'^'^ fonction qui s^annule pour £/ = o seulement. Si donc X = o, cette valeur nulle de u vérifie l'équation (i); elle en constitue la seule racine, et son degré de multiplicité est m, parce qu'elle annule aussi, jusqu'à l'ordre m — i seulement, les fonctions

mu"^-^y m{m — i)a'"-*, ..., m(m — i)...'2.i, o, o, ...,

dérivées successives par rapport à « du premier membre mis sous la forme normale.

Quand X est non = o, le zéro unique de la dérivée mw"»"* ne satisfait pas à l'équation proposée, et celle-ci ne peut avoir que des racines simples. Comme l'équation

( 4 ) u"' — jr=o

est vérifiée numériquement pour x = u = ly on obtiendra toutes les racines de l'équation (i), en cherchant au bout de tous les chemins praticables tracés de :r = i à x = K, les valeurs finales de la fonction implicite définie par l'équation (4) complétée par la

condition initiale

u = I pour X = i.

Or cette fonction implicite est précisément celle que nous avons

représentée par ^( — f ^j (77), dont les valeurs finales distinctes

sont les m quantités (2) ou (3), ce que nous avions à prouver (86 et suiv,).