CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

107. Au sujet de ces racines, et en excluant le cas où X = o, nous avons à faire les observations générales qui suivent.

I. En posant modX = S, toutes ont pour module commun la quantité T, détermination réelle positive rfe i ( — > EJ.

C'est ce qui résulte immédiatement du n® 95.

II. Elles sont représentées graphiquement par les sommets d'un polygone régulier de m côtés, inscrit dans la circonférence de rayon X quia V origine Ou pour centre. Et si Von part de U pour y revenir, en marchant sur ce polygone de manière à rencontrer successivement les racines dans r ordre (3), on exécute une révolution de sens direct autour de 0« {pourvu toutefois que m soit > 2).

Comme les quantités o, —»—>•• -, — ^^^ croissent en proerres-

*■ mm m r o

sion arithmétique dans Fintervalle de pi = o à |x = 1 , les m points

sont les sommets d'un polygone jouissant de toutes les propriétés énoncées, à cela près que le rayon de sa circonférence circonscrite est = I (101 , VII) ; et Ton peut passer des quantités (5) aux quantités (3), en multipliant toutes les premières, d'abord par T, puis

par ^ clef de U (72*).

Or la première multiplication transforme le polygone ^5) en un autre homothétique, dont la circonférence circonscrite a X pour rayon; quant à la dernière, elle imprime à ce nouveau polygone une simple rotation autour de Torigine O^ (86*).

III. Quand X est une quantité réelle positive, on peut prendre

pour U la détermination réelle positive de ^( — > Xj. Les seules

quantités réelles contenues dans la suite (3) sont alors U si m est impair, et ±1] si m est pair.

Dans le premier cas en effet, i est le terme réel unique de la

suile(5);danslesecond, on y trouve encore <I>(^— j = <I>(-j = — i, mais aucun autre (101, IV).

108. Les racines de l'équation (i) sont ce qu'on nomme les racines m'^'"" de la quantité X. On représente par le signe \/\

ou bien encore X'"(H8, iVi/.), tantôt Tune d'elles spécifiée convenablement, tantôt Tune ou l'autre indistinctement. Dans ce dernier

cas, et pour Xnon = o, ces notations, équivalentes à ^f — • X),

sont essentiellement ambiguës, puisqu'elles ont m déterminations inégales.

Quand X est réelle positive, y/X représente habituellement la

détermination réelle et positive de ^(— » Xj. On a ainsi, par

exemple,

mod "v/\ = "v^modX.

Les rcgies du calcul des radicaux imaginaires résultent toutes des combinaisons variées auxquelles se prêtent les formules fondamentales des n°* 74- et suiv. (ou 81). On peut dire qu'elles sont les mêmes que pour les radicaux arithmétiques, sauf la nécessité de choisir convenablement les déterminations des expressions ambiguës.