CHAPITRE m. — FONCTION RADICALE SIMPLE

circonférence de rayon i, et orienté de manière à avoir toujours un sommet au point u = i .

II. La suite (7), qui contient toujours le terme réel i, renferme en outre $^— — j=i<ï>(ij = — i quand m est pair ^

quand m est multiple de 4 (101, I).

III. Toutes ces racines {sauf i et aussi — 1 quand m est pair) sont deux à deux réciproques, en même temps conjuguées.

On a effeclivement, quel que soit gy

carré du module commun aux deux facteurs (91), (101, 1), (73*).

IV. Comme, dans la suile (3), U représente au fond une racine de Tëquation (i), dont le choix s^est fait arbitrairement, toutes les

déterminations du radical ^/% s^ obtiennent en multipliant une seule quelconque d^ entre elles par chacune des m racines /n'^'"^* de V unité.

110. Le produit des racines (7) élevées à des puissances d^ exposants entiers quelconques {positif s, nuls ou négatifs) ko, X:,, . . . , km i régénère toujours quelqu'une des mêmes racines.

EfTeclivement (91) ce produit se met immédiatement sous la forme

OÙ q, r représentent le quotient et le reste (positif) de la division de o.A'o + I .A"i H-. . . -|-(m — i)^m i par /w-

111 . En particulier, la progression géométrique (8) .... *(-^), ., *(^), *(M), ...

formée par les diverses puissances d^une même racine quelconque ^( — ) ne contient que des racines, et même elle les

renferme toutes dans des cas qu'il importe de spécifier.

Soit d le plus grand commun diviseur (pris positivement) des entiers m, gj et posons m = dm\ g'=. dg'^ en sorte que m', g* soient des entiers premiers entre eux, le premier positif. Pour que

les deux termes <I>(-^j» ^(^^j de cette progression soient

égaux, il faut et il suffit' que leur rapport

soit égal à I, et pour cela (101, V) que — ^ — r^— ^ se réduise à

quelque entier, c'est-à-dire que k^ — k^ soit divisible par m' puisque g' est premier à m'. Un groupe de m' termes consécutifs dans la progression n'en comprend que d'inégaux, mais ensuite chaque terme se reproduit indéfiniment à m' rangs d'intervalle dans les deux sens. Les seules racines de V équation (6) qui se trouvent dans la progression sont ainsi celles du groupe

- Ks)' -m- •■■■ -[''^i-

et leur nombre m' est en même temps l'exposant de la plus

faible puissance de la racine considérée ^(^) qui puisse être

égale à i . On exprime ces deux faits équivalents, en disant que la racine en question appartient à l'exposant m!.

Quand g est premier à /w, on a rf= i, m'^= m^ g'=:^ g^ et la

racine ^(~) appartient au nombre m lui-même, c'est-à-dire

que ses diverses puissances reproduisent toutes les racines de l'équation (6), et qu'aucune d'elles ne peut être égale à i si son exposant n'est pas divisible par m.

Ces racines appartenant ainsi au degré m lui-même de l'équation considérée (6) sont les plus remarquables et ont reçu le nom de racines primitives. Elles sont en nombre évidemment égal à celui des entiers positif s g inférieurs et premiers à m, k m — i