CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

par exemple quand m est premier; ce sont alors toutes les racines autres que i .

Il est évident i^une puissance d^une racine primitive est aussi primitive ou ne V est pas, selon que son exposant est premier à m ou non,

112. En raisonnant comme au n** 101, VII, 4°> on aperçoit de suite que les quantités (8), puissances successives d^une même racine quelconque de V équation (6), sont représentées graphiquement par les sommets d'un certain polygone régulier inscrit dans la circonférence ayant 0« pour centre et i pour rayon.

Le nombre des côtés de ce polj'gone est évidemment l'exposant m' auquel appartient la racine génératrice ^f — j* Sa forme

est liée à la nature relative des nombres m, g d'une manière inutile à préciser ici. Il est tantôt convexe, plus souvent étoile,

H3. Comme i et m — i sont forcément premiers à m, les

racines ^( — ]<?/4>(— — j = *( ^j, réciproques et en même

temps conjuguées (109, III), sont toujours primitives.

Le polygone régulier de m côtés qu'engendrent les puissances successives de la première a pour sommets les points (7) respectivement, et en marchant sur son périmètre de manière à rencontrer successivement ses sommets dans l'ordre où ils se présentent ainsi, on exécute autour de l'origine une seule révolution de sens direct (107, II). Celui qui correspond à l'autre racine coïncide géométriquement avec le précédent, et son parcours fait faire encore autour de l'origine une révolution unique, mais de sens rétrograde.

Les polygones réguliers fournis parles autres racines primitives ont bien aussi m côtés, mais, au lieu d'être convexes comme ces deux-ci, ils sont étoiles; de plus, le parcours de leurs périmètres constitue toujours plus d'une révolution autour de l'origine. A cause de cela nous nommerons principales les deux racines primitives dont il s'agit, la première directe, la seconde rétrograde.

Pour 771 = 2, on a la seule racine primitive ^(-) = — * ! à

proprement parler, elle n'engendre plus de polygone régulier, el la dénomination de racine principale devient sans objet.

Pour m = 4, les racines principales sont 4>(=ii ^j= ± /(lOl, I),

la première directe, la seconde rétrograde.

Dans la théorie de la fonction exponentielle (201, IV, inf.)^ nous rencontrerons des expressions remarquables des racines m**"""* de l'unité.

113 bis. Nous aurons à utiliser les observations suivantes.