II. Celles qui sont singulières pour f{x^ y y

La discussion de valeurs du premier genre «, 6, ... s'opère en considérant le développement de/(x, ^, . . •) en série entière par rapport k x — a^ y — 6, .... Si les coefficients de ce développement ont des valeurs telles qu'il soit la puissance m*^"® exacte de quelque autre de même nature, ce dont on s'assure en extrayant sa racine m""*, comme s'il se réduisait à un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes Aq x — a^ y — 6, . . . , il est clair que V expression (12) a m déterminations toutes olotropes en X = a^ y= b, .... Sinon, et en particulier quand l'ensemble homogène des termes effectifs de moindre degré n'est la puissance m*^*"® d'aucun polynôme de cette espèce, il est évident qu'aucune de ces déterminations n'y est olotrope. Par exemple,

la fonction yJ\x) est olotrope ou non en x = a, selon que le degré de multiplicité de a considéré comme zéro de /{x) est ou non divisible par m (3).

La nature d'une phase critique du second genre est entièrement subordonnée à celle delà phase singulière danslaquelley(ar,^, . . .) est supposée entrer, et naturellement on ne peut rien dire avant que cette dernière ait été précisée. Si, par exemple, on avait

/{Xyy, ...) = [(f{x^y, ...)]**, <f{x,y, .-.) étant olotrope et nulle en x=: a, y = b^ . . . , mais non puissance à exposant entier de quelque autre fonction olotrope, l'expression (12) y serait

nN olotrope ou non, selon que — ^ se réduirait ou non à quelque

entier positif.

En un infini a, de degré de multiplicité [x, def{x) supposée méromorphe, on peut poser

d'où

[/(ar)]'^=(a7-a) '^[/oCa?)]'".

Ce dernier radical étant olotrope en :c = a parce qu'il porte sur