CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE
une fonction qui l*est elle-même sans s'évanouir (33), cette fonc^ tion composée y est ou non méromorphe, partant monodrome, selon que (x est ou non multiple de m.
126. Pour suivre par cheminement la valeur de la fonction composée (i a), on peut procéder comme nous l'avons depuis bien longtemps expliqué (251*). Nous ferons plus bas (166, inf,) une étude de ce genre, mais par des procédés un peu différents qui reposent sur la discussion de radicaux simples de la forme
En appelant Xo, Xles valeurs extrêmes de :r, puis X\ une valeur intermédiaire, puis [:ro^|X]un chemin simple tracé par ces trois points, puis enfin [a] un anneau passant par x^ et enveloppant une seule fois la valeur critique il, on aperçoit immédiatement, en raisonnant comme au n® 87, que tout chemin conduisant de Xq à X peut, sans franchir le point a, être amené à se composer des tronçons [oto^i], [>^<X] avec soudure intercalaire de l'anneau [a] parcouru plus ou moins de fois dans un sens ou dans l'autre.
Quand x décrit cet anneau, la différence j: — Cl représentée graphiquement sur un plan spécial y décrit évidemment, autour de son origine O' et dans le même sens de rotation, un anneau [O'] géométriquement superposable au premier. Après chaque révolution nouvelle, notre radical revient donc en Xx à sa valeur primitive multipliée par a-" (119). Les changements que produit dans la valeur finale acquise en X par notre radical l'intercalation entre les tronçons du chemin simple de Tanneau [a] répété un nombre quelconque de fois dans un sens ou dans l'autre, sont donc déterminés textuellement par les propositions des n®' 119 et suivants.
127. La règle de différentiation delà fonction composée [U(:r)] est fournie par la formule évidente, de même forme que si l'exposant était entier,
^[U(a;)]'"=^L^Hil U'(*)=^[U(x)]« U'(^) (256*),(U8). Pour la fonction composée plus générale ii\y^■, U(:c)], on trou-
verait (80, I), (82)
dx
^.[m,U(x)] = m!?lîJj^!p
mais il vaut mieux rattacher ce qui intéresse cette fonction à la théorie du logarithme et de ^exponentielle, comme nous le ferons plus tard (212, inf,).
