CHAPITRE IV

ÉTUDE DBS PRINCIPALES PHASES CRITIQUES D*UNE FONCTION IMPLICITE d'une SEULE VARIABLE, DÉFINIE PAR UNE ÉQUATION UNIQUE.

Recherche des racines olotropes u de Téquation f(x, u) = o, dans le cas où / est une composante olotrope dont la dérivée première par rapport à u a une valeur initiale nulle.

128. Parmi les phases critiques où entrent les fonctions implicites quand les conditions sous lesquelles nous avons énoncé le théorème fondamental de leur théorie (307*) ne sont plus toutes remplies, les plus intéressantes, et de beaucoup, sont celles que fait naître la nullité du déterminant diflerenliel des premiers membres des équations génératrices, pris par rapport aux fonctions inconnues, ces premiers membres étant toujours supposés fonctions olotropes des variables indépendantes et des fonctions inconnues, pour les valeurs initiales de toutes ces quantités. La discussion de ces phases critiques est infiniment trop vaste pour pouvoir être exécutée dans toute sa généralité; d'ailleurs on serait bientôt arrêté par l'exiguïté des connaissances acquises sur les systèmes de polynômes entiers à plusieurs variables; mais elle a été épuisée dans son cas le plus simple et le plus important aussi, celui où il s'agit d'une équation unique définissant une fonction implicite d'une seule variable indépendante. La résolution d'une pareille équation engendre alors plusieurs fonctions implicites répondant aux mêmes conditions initiales, et tes phases singulières de celles qui cessent d*être olotropes sont toujours réductibles à celle de la fonction radicale simple (71, VI), (80, III), ( 102 et suiv,). C'est la principale des constatations que nous avons à faire dans le présent Chapitre.

Nous supposerons donc que le premier membre de l'équation

122 DBUXIÊMB PARTIE. — PONCTIONS D'UXE 8EULK VARIABLE.

finie donnée

(i) /(j-, ii) = o,

à une seule variable indépendante x et à une seule fonction inconnue i/, est olotrope pour les valeurs initiales de x, i/, mais qu'on y a

Pour simplifier Técriture et le langage, nous raisonnerons dans l'hypothèse toujours réalisable, où ces valeurs initiales sont nulles toutes deux, où, par suite, le développement dey(x, u) à partir d'elles se réduit à une simple série entière en Xy u, ayant zéro pour terme constant. Nous entendrons exclusivement par racines de l'équation (i), les fonctions de x de toutes natures, annulant/(x, u) quelle que soit x (dans le voisinage de x=^o) et tendant vers zéro en même temps que x.

129. Dans la série entière f(x^ u) que nous devons supposer non identiquement nulle, nous appellerons terme principal celui de moindre degré en u parmi les termes effectifs (112*) où x figure à sa plus faible puissance f, et aussi grade de cette série, le degré g par rapport à u, de son terme principal.

Gomme tous les termes de /{x, u) sont divisibles par x^y mais non par ^*"*"*, on peut écrire

(2) /(Xy M) = a:f[D(a)-+-a:E(ar, u)],

D(tt) représentant une série entière en u seulement, de même grade g, et E(a:, u) quelque série entière en ^, u.

130. Si le grade fl se réduit à zéro y V équation (i) ri! a aucune racine.

Dans cette hypothèse, le second facteur de l'expression (a) ci-dessus prend la forme

Af.o4-I(ar, a),

où le premier terme est une constante non = o, où le second est une série entière sans terme constant. En appelant donc e quelque