CHAPITRE lY. — PHASES CRITIQUES DBS FONCTIONS IMPLICITES

quantité positive inférieure à modAf^oy on peut en assigner deux autres Ç, vj telles que pour tout système de valeurs de x, u ayant des modules inférieurs à ces dernières, on ait

modI(â7, w)< £, et par suite

mod[Af,o-+- K^T w)]>inodAf,o — e.

Il est donc impossible qu'une fonction de x annule identiquement ce second facteur et par suite l'expression (2) elle-même, si les valeurs qu'elle prend pour les valeurs de x dont les modules sont inférieurs à \ n'ont pas des modules au moins égaux à tj, en particulier si elle est infiniment petite quand x tend vers zéro.

131. Quand fl = i, Inéquation (i) possède une seule racine qui est olotrope en x = o.

En égalant à zéro le second facteur de l'expression (2), on obtient effectivement une équation de la forme

où rf| n'est pas nul, et qui par suite rentre dans la théorie générale (307*). Car en x = u = o, son premier membre est olotrope et nul, mais non sa dérivée première par rapport à u qui se réduit à rf|. Cette équation admet donc pour racine unique (308*) une fonction de x^ olotrope en x = o, qui seule évidemment aussi peut annuler identiquement l'expression (2).

Nous n'avons ainsi à nous occuper que des cas où g est >• i , et nous commencerons nos recherches par celle des racines olotropes (en :r = 0).