CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

degré de multiplicité d'une racine d'une équation entière quelconque ne peut jamais surpasser le degré effectif de celle-ci.

On a ensuite, toujours quel que soit A\

Effectivement, cela même avant toute réduction, le développement de la série composée (i4) contient, quel que soit l'entier [jl, un terme en x^'^'^^u^^ mais aucun autre semblable. Car la nature même de la formule du binôme impose aux exposants de Xf ua dans chacun des termes provenant du développement de l'expression (i6), les formes simultanées

f -i- R -h I Jl -+- 9- 5j -+- . . . -4- A 5^., Sji.

OÙ 5f, 5^, . . •, Sk désignent les éléments de quelque sj'stème de solutions positives ou nulles de l'équation indéterminée en nombres entiers

Pour que ces exposants soient égaux précisément à f -}- Â u, [jl, il est donc suffisant, mais nécessaire aussi, de faire

R = Si = St = .. .= SA 1 = O, S/,= {JL,

d'où R = o, S = |x, c'est-à-dire de prendre le terme unique de la forme voulue

qui existe dans le développement de l'expression (i6)

pour R — o, S — fi.

Pour certaines valeurs de [jl, ce terme peut avoir un coefficient nul; mais il est effectif quel que soit k pour [a = fl, car alors son coefficient Af,g est celui môme du terme principal de /(^, u) qui est essentiellement non=:o. Etant unique de son espèce, il ne peut être détruit par aucune réduction ultérieure, et il subsiste ainsi comme terme effectif dans la série (ii), ce qui donne évidemment

132 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNB SEULE VARIABLE.

La relation (17) donne d'ailleurs

inégalité qu'il suffit de combiner avec la précédente pour trouver celle que nous voulons établir (24).

Plus généralement on a, quel que soit p(^>o),

(25) VXk^tk^p,

Si la substitution

(26) 'J* = ait -h MX-

transforme la série (11) entière par rapport à Xy ua? en cette autre de même nature relativement à jt, ur

(27) ik{x, Uk)=^x^\[?k{uk)-\-xTk{x, Uk)\, on aura évidemment

et avec cela

xh-^f,[\\k^,,{^Jk-^p)->r X^k-^p{x, 'JA+/1)] (28) { =/*-^/'(^' ^*-»-'')

= îk(T, ak-^xx-^-, . .-+- ak+p-ixP-'^ ->r '^k-^pX^'^P), parce que la substitution

(29) u =^ axx -^ . . .-^ akX^ -{- , . .-^ ak^p-ix'^'^P-^ -h 'Jk+p^'^^P peut être considérée comme composée de (12), de (26) et de

( 30) Uk = «jt+i X -^, . ,-h Uk-i-p-i xP-^ -h 'ik-^p^P-

En outre VX^ degré de multiplicité de ak considéré comme racine de Téquation (i3) est Texposant de la plus haute puissance de \ik — ctk qwi divise 11^(1»^), celui par conséquent de la plus haute puissance de Uk qui divise Vk{uk)=^k{ctk-\- Uk)^ c'està-dire ce que nous avons appelé le grade (par rapport à Uk) de la série (27).

Maintenant la relation à démontrer (26) n'est plus autre chose