CHAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES

second facteur comme une dérivée, donne d’abord

CP ur EPP + N°" (6) B+i dé. Ter S(a+æ)t-1(6 + x)+ide.

En remplaçant ensuite dans l’intégrale complémentaire un fac-

teur b+ x par (b—a)+(a+ x), des transformations évidentes conduisent à

(a+ æ)t(b + z)P+1 RARE a(b—a)

| He en) (re

| f(a+x)t(b + x) dx — (7)

Si maintenant on change & en «+1, et si l’on résout cette formule par rapport à l'intégrale entrant dans son second membre, il vient

| a pot sea Pr

(8) (a+ 1)(6 — a) ut a+ ape (Neo SR RUES

Les formules (6), (5), (8) ne sont jamais illusoires, parce que aucun entier ne pouvant se trouver parmi &, Ê, « + f, les quantités a +1, Br, a+ Br sont, comme b — a, toutes 0. L'emploi répété des deux dernières permet, sans changer $, de retrancher à &« ou de lui ajouter autant d’unités qu'on le veut. Celles qui s’en déduisent par la permutation simultanée de a avec b et de à avec B permettent de modifier semblablement £ sans toucher à «, d’où la possibilité de la transformation que nous avions en vue.

On pourra par exemple ramener «, $ à tomber tous deux dans l'intervalle o, 1.

Quand & et B sont de signes contraires, la diminution de leurs valeurs numériques peut, au moins pendant quelque temps, être opérée simultanément, plus rapidement par suite, à l’aide de la formule (6), ou sinon de ce qu’elle devient quand on y permute a avec b et « avec f.

IT. Dans les cas d'intégrabilité pratique signalés au début (TL),

je TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES.

les formules précédentes peuvent être ou devenir illusoires. Cette éventualité ne les empêche pas de procurer des réductions qui facilitent l'intégration.

Si par exemple x est un entier positif, la formule (5), qui n’est jamais illusoire quand 8 est une fraction, conduit jusqu'à l’inté-

orale

SD a )8 de = PR + ce.

Si x est un entier négatif, la formule (8) ne peut conduire que k SSSR b+ x) DEA jusqu’à l’intégrale IE dx pour laquelle la substitution î da + T

indiquée au n° 5 entraîne des calculs évidemment moins compliqués que s’il s'agissait de la proposée (5); et, de même, dans les autres cas d’intégrabilité pratique, à la discussion détaillée desquels il serait oiseux de nous attarder.

10. L'intégrale de la différentielle binôme, (9) fSr"(a + bzxr)? dx,

où a, b sont des constantes, et m, n, p des exposants réels commensurables quelconques, est changée par la substitution algé-

brique —= - l ,—- 1 (10) mb, d'oùide— bai AR {A

en n+1 +1

. HELD T (ace brér dt, forme que prend l'intégrale (5) (sauf un facteur constant et la notation de la variable) quand on y fait (11) D 01 =D, Sd AT Re

On en conclut immédiatement qu’elle est réductible par une substitution algébrique à l’intégrale d’une différentielle rationnelle, par suite exprimable au moyen de fonctions algébriques et logarithmiques, quand l’un au moins des trous

CHAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES. 13 nombres

ds TILL MEET 12 £ AXE P; nm n fe

est entier.

Dans tous les cas, on peut employer à sa réduction, à son calcul effectif s'il y a lieu, toutes les formules mentionnées dans l’alinéa Il du numéro précédent, en y réalisant les hypothèses particulières (11) et en inversant la substitution (10), soit dans ces formules elles-mêmes, soit dans le résultat définitif de leur application. Mais nous devons supprimer les détails du calcul, qui sont aussi fastidieux que dénués d'intérêt.

Dans l'intégrale (9) on peut rendre les exposants m, n entiers et ce dermier positif; car, si 2 était donné négatif, on écrirail aussi bien

fænmtnp(b + ax-")? dr,

après quoi 1l suffit d'appeler M le plus petit commun multiple positif des dénominateurs des exposants m + np, et — n mis sous formes de fractions irréductibles, et d'exécuter la substi- EOION Li 2".