L'intégrale JF(x, Va +bx, Va'+0'x)dz

où F est une composante rationnelle, se ramène immédiatement à la forme (4) par la substitution

E— a t Fu D d’où dr=2dt (333)

et

Va + b'x= 1, Varta=t/(a-)+ pe

9. En appelant a, b deux constantes inégales, et «, 6 deux exposants réels commensurables quelconques, l’intégrale de nature

abélienne (169**) (5) fa + æ)Xb + x) dx

renferme l'intégrale classique dont nous parlerons tout à l’heure (10, inf.) et nous la considérerons de préférence.

1. Elle est réductible à celle d’une différentielle rationnelle par la substitution indiquée au n° 5, partant exprimable au moyen des fonctions algébriques et logarithmiques :

1° Quand l’exposant « est entier, car alors la différentielle ne contient pas d’autre irrationnelle que le radical (b + UE portant sur une fonction linéaire de x (loc. cit.);

2° Quand $ est entier pour une cause semblable;

3° Quand la somme à + $ est un nombre entier, car la différentielle écrite

(a + æy4+8 (EE) ar

ne contient d’autre irrationnelle qu’un radical portant sur la fonc-

‘ k % , DE ; on rationnelle et du premier degré ——— (loc. cit.). 9 a+x

Il. Dans tous les autres cas, l’intégrale (5) est réductible à des fonctions algébriques et à une autre de même forme dans laquelle chacun des exposants a, 8 a augmenté ou: diminué d’autant d'unités qu’on le veut.

L'intégration par parties (270*), exécutée en considérant le