Considérons, par exemple, l'intégrale

æm dr Em re | Vi ND où mn est un exposant entier. Elle est circulaire, et peut être cal-

culée par les procédés indiqués aux n°% 226**, 228** ou 6. Mais, en l’écrivant

frxn(i— x?) ? dx, on voit qu’elle rentre aussi dans la classe de celles dont nous

venons de parler, de plus qu’elle tombe toujours dans un cas d'intégrabilité pratique. Car les nombres (12) sont ici

I MEET nm rat EEE 2 AA. 2 2 2 2 dont l’un des deux derniers est nécessairement entier, que m soit

pair ou non.

Ici les formules de réduction ne peuvent faire varier m que de

deux unités à la fois; mais celle qui diminue la valeur numérique de cet exposant conduit toujours à une formule finale où, dans l'intégrale complémentaire quand elle n’y est pas multipliée par un coefficient — 0, m est égal tantôt à o tantôt à — 1. Le calcul est alors achevé parce que cette intégrale complémentaire est l’une des intégrales circulaires réduites dont nous avons trouvé les expressions aux n° 7 et 228**, IT.

On peut en dire autant, ou à peu près sur l'intégrale

VAL dx SIL ni —— —/fx (a—x) ? dr, Va zx — x?

qui pourrait aussi être ramenée à la forme précédente par la substitution x = at?.

Différentielles transcendantes.

12. Sia désigne quelque constante, et F une composante rationnelle quelconque, l'expression F(e%7) renferme un très grand nombre de transcendantes courantes, en particulier toute fonction composée rationnelle des tangentes, cotangentes, sinus, etc., de divers multiples entiers ou fractionnaires de +, puisque ces dernières fonctions s'expriment toutes rationnellement au moyen d’une seule exponentielle ayant pour exposant une partie aliquote de tx (216**), (220**), (231**). Et comme F(e*) est toujours une

fonction unipériodique polarisée (de période 7) (264**), La

méthode générale expliquée au n° 295** conduit d’une manière sûre et uniforme à l’expression de l'intégrale

(1) SF(eax)dx,

au moyen des fonctions que nous connaissons.

Ün autre procédé moins net, mais d’une réussite certaine aussi, consiste à transformer cette intégrale par la substitution

Lee ue I BIC) d'où dx = — dt a at

ef dt.

en