CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM

quels les valeurs correspondantes de +, u(æ), u'(x), ...,u(")(x) feraient toujours entrer la composante F dans une phase singulière.

96. La recherche d’un maximum ou minimum de l'intégrale (5) exige ainsi l'introduction préalable de ce paramètre &, que nous avons expliquée tout à l'heure, puis le calcul de S'(a), par suite celui des dérivées partielles par rapport à a des diverses quantités intéressées dans les opérations conduisant à l’expression générale de S'(a). Au lieu de ces dérivées, et conformément à un usage que nous respecterons, bien qu'il nous paraisse incommode, nous considérerons, ce qui revient au même, les différentielles, par rapport à &, des quantités en question ; on les nomme leurs variations et on les représente par les caractéristiques à, 2?, 0, ....

Pour les variations premières, les seules que nous ayons à faire intervenir, cette définition donne ainsi

dæ La da, Ôdu us oui) eu

EE 1 ri = J

RC ? da ? 4 ; da |

ÎT ÔTe —= TA d D Volets Uhr eee Le te ous » , ne ete tal» o e ohele srl , À du(x, a | du 0 (r, a) ÔU — 102) da Qui) = da, da da

Ceci bien entendu, le développement de àS == S'(a) da, sous la forme voulue, s'obtient par la mise en œuvre des principes suivants dont on fait un usage continuel dans toutes les questions de

ce genre.

I. On a D Ur 2. uo. .…, uw Nota Fri, ui, ui, ..., uft)}0æs (9) 4 9 | RE u, USM, %:

C’est ce qui résulte immédiatement de la règle donnée au n° 259* pour la différentiation d’une intégrale définie, par rapport à une variable paramétrique (a ici) engagée aussi bien dans les limites que dans la fonction à intégrer; seulement le formulaire est très légèrement modifié par la substitution des différentielles aux

dérivées.

Il. La variation dF d’une fonction composée différentielle

de x, u, telle que F(x,u,u/, ..., ut®)) est donnée par la for mu le

ADS Le OP 20 ANR (10) CARE ARE sr QUELS

Ceci est l'application directe de la règle du n° 256* à

FC UE ORNE

fonction composée de uw, uw’. ..., ul”) qui sont des fonctions

simples dépendant toutes de la variable introduite &, dont l’autre variable + est naturellement indépendante; seulement les différentielles ont encore été substituées aux dérivées.

IL. Pour un indice quelconque 1 de difjérentiation par rapport à x, on «& SA Cr LE

If Out) — - OU AT dx!

dut,%(x, a)

Car, le premier membre étant sp da, et le second étant dif u®,9{(>, a)da A ous deuston ut(x, a)da pour valeur comdxi mune.

IV. On a | APE didu : ARR (12) [ORNE = — du) — uit! ôxrs, É dx Len!

avec pareille formule pour l’indice 2 substitué à 1.

Comme u® n’est pas autre chose que ul)(x,, a), c'est-à-dire une fonction composée de & et de x, fonction simple de a après l’introduction de ce paramètre dans les quantités (r), (2), on à

du? Ou, 0(x;, a) ou) (+1, a) dx:

= —————————…— + , da da 0x: da UE 2] du&)(x, à) dx; a Mn + | ———— ur da 2 =+, dx ax, da dut (x, a) | dx En FAURE LE + UU+LO)(»,, a | da 27) AE) da