CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM

ou bien, en multipliant tout par da, du LS Lout® |e=x, + ut Or, relation équivalente à AONE 97. Nous pouvons maintenant développer 0S de la manière à

laquelle nous faisions allusion tout à l’heure. L'emploi successif des formules (9), (10), (11) donne immédia-

tement / F dôu 0S —F, 072 — Fidx: + f Qu ou + U' dx (13) ci Re n m à + UŸ Eee eu + Ur CHERE dx dæxi dax 3

où pour simplifier l’écriture nous avons représenté par F,, F, les coefficients de 0x2, 0x, dans la relation (9), et par U, U’, ..., U” les dérivées partielles de la composante F figurant dans la rela-

tion (10), savoir ARR E Ur À Qu ou” ? Qui

L'intégration par parties, mentionnée au n° 271*, donne ensuite

| | F2. … didu di-1ôu dU di-?2ôu

déTUON Le HN (Tr), Gus |

li-10u dUÔ di-2ôu

(14 “# (2) Frot Res kr HORS

à EC x ( dati ). OLD ).( dxi-? ) + IN div FES | + (Te) Gui | F3 . di U x (— 1} ne. ou dx.

Ici diU'ù ea la dérivée jième Û d 1 qu 2 represente la dérivée 7 par rapport à æ, de

du am u\ Tire Ne MSP dx dx!"

U® (x, u, fonction composée différentielle de x et de w, fonction simple de x ; on a, par exemple,

dŒU" __oU oU’ du ÿ OU’ d'u ” OU’ d'rlu dx 0x du dx 0ù dx? ‘‘ out) dm

Quant aux indices 1, 2 placés aux pieds d'expressions entre parenthèses, ils indiquent qu'il s’agit des valeurs prises par elles EN TE Li OS

RE k 1j d diôu Re: : .

La substitution à (Tr) ; (Tr) ES quantités identiques j 1 2

(du )),, (oui): (96, HI), puis à ces dernières, des différences du)— uÿ+!ôr,, duY— uÿ+10r2 (96, IV)

change la formule (14) en

pl a

: didu . A . di U () é — )$ ee 0 (15) Ji Ut AE dri=N le (— 1) Jui U dx

. Pre ñ . ‘ PRE & où 3 représente une certaine expression linéaire et homogène par rapport à

à n We. 7 NS (i—1) IN Ni QeTr n (111) OV, HOW: ROU,;, .) QULTIMAMOMS MOIS EUUES San 20 EPS

dont les coefficients sont des fonctions déterminées de

! { Le Li, Us AUS LITRES

Lo, Us, TA uin+i—1),

Enfin l’application de la formule (15) à la transformation des diverses parties dans lesquelles se décompose naturellement l’intégrale figurant dans la relation (13) conduit à

du dim u

(16) 0S = $ + [ u (7, PR Tran Sur,

TA où, d’une part,

mg LES ads + Da dun + DIU Du + ++ NIUE Bu) < + V2 02 + DIU dur + DIT, du, +...+ MUG2T 1 Qubrt),

expression linéaire et homogène par rapport aux 27% Variations mises en évidence, dont les coefficients sont des fonctions déter-

minées de

(3m—1) es -

où d’autre part

/ du dm u \l (æ, PT À ONCE orne

8 dx 7? dr?m M ) U dU' dU'’ .d’UŸ dm U'"r) = — — ——— — ,,..—+—(— t .—+(— Là | AR dx ÿ dx? s en dx co Ca dx