Les raisonnements qui conduisent à la détermination dont

il s'agit ont pour point de départ les considérations générales

suivantes :

I. En supposant remplies pour le système des équations (3) les conditions sous lesquelles subsiste la théorie générale des fonctions implicites (319* et suiv.), cela pour des valeurs des quanutés (1), (2) suffisamment voisines de celles

DA (6) X1 et U1; ue ue ui), (7) Xo et U», us LT ui),

qui correspondent au maximum ou minimum cherché, on peut assigner pour ces quantités (1), (2) autant de fonctions d’un méme paramètre indéterminé a, qui satisfassent aux équations (3) quel que soit a, qui de plus en a — a, valeur particulière de a choisie arbitrairement, soient olotropes et prennent les valeurs (6), (5).

Pour cela, 1l suffit effectivement de tirer des Æ équations (3), £ de ces quantités en fonctions olotropes des [(k, + 2) + (k, + 2) — #] autres, puis de substituer partout, à ces dernières, des fonctions olotropes de a prenant pour a = a, les valeurs qu’elles ont dans les suites (6), (7).

Tout ou partie des quantités (1), (2) pourraient être données numériquement, ou bien, ce qui est la même chose, les équations (3) à elles seules suffiraient à déterminer les valeurs de

quelques-unes. Relativement au paramètre à, celles-ci se réduiraient alors à de simples constantes, mais elles ne cesseraient pas pour autant de pouvoir être considérées comme des fonctions de «.

IL. On peut également assigner quelque fonction u(x, a) des deux variables x, a, qui soit olotrope pour toute combinaison des valeurs de x tombant dans l’intervalle | x, x, |, avec celles de a suffisamment voisines de a, qui satisfasse, quelle que soit a, aux conditions imposées à u(x) en & = Li, L = Lo; et qui pour a = a se réduise à la détermination u(x) de cette fonction donnant lieu au maximum ou minimum.

La formule générale de l’interpolation (62**) assure l’existence

CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM. 139 d’un polynôme entier en x, de degré k,+ ko+1,

#: (K,) 4 (Ka A AU re Vol Un, UE)

se réduisant lui-même et ses dérivées successives, premièrement jusqu’à la ÆŸ"° aux quantités formant la seconde partie du groupe (1) pour æ = x,, deuxièmement jusqu’à la ki" à celles formant la seconde partie du groupe (2) pour + — x, ; ensuite, et à cause de l’hypothèse x, Z x,, les coefficients de ce polynôme sont tous des fonctions olotropes des quantités (1), (2), ce que la formule mentionnée montre immédiatement; enfin le même polynôme se change évidemment en une fonction olotrope de x, a par la substitution, aux mêmes quantités (1}),(2), de leurs expressions en a dont nous parlions tout à l'heure (1). Comme on a évidemment

EUX) —='U1, BORNE, LE uZ (x) = ui), Ve SOEDITÉ DCE lle: re us) (x2) = ufr),

il suffira donc de prendre

Autre Pir gLu(r), …., MZ), u(re), ..., uÆl(x)]

(8) RU ER LU DE us) ) +(a—a)(t — æ)hitl(r — m)hitlw(xr, à),

w(zx, a) désignant une fonction olotrope de‘x, « entièrement arbitraire. Effectivement cette expression est une fonction de æ, a, évidemment olotrope dans les circonstances considérées. En x = x, ou = Z», elle satisfait, quel que soit &, aux conditions imposées à la fonction u(x); car pour &æ — x, par exemple, &(< k, +1) différentiations par rapport à æ exécutées sur ses quatre termes donnent

ut æ,)—uU(a) Eu 0 = ul.

Elle se réduit enfin à u(x) pour & = a, parce que son dernier terme s’évanouit identiquement et qu'il vient en même temps Mix 4 U= U1=u(x1), HA ein (x).

AE — ul) = un) (x;), ne qe de Mo ee à

cause immédiate de destruction mutuelle pour son second et son troisième terme.

IL. Moyennant un choix convenable de w(x, a) et de la valeur particulière à attribuer ensuite à a, on peut identifier la fonction u(x, a) fournie par la formule (8) avec toute fonction olotrope de x qui remplirait les conditions aux limites exprimées par les équations (3) et dont l'excès sur u(x) resterait, quelle que soit x dans l'intervalle [x,, x: |], numériquement inférieur à une quantité positive suffisamment pelite.

La considération invoquée au commencement de l'alinéa V ci-dessous nous permet de supprimer la démonstration.

IV. En supposant maintenant olotrope la composante F qui figure dans l'intégrale considérée (5), la substitution à x,, x, u(x) d’une combinaison particulière quelconque des fonctions correspondantes de «a définies dans l'alinéa T1, de x, a définie dans l’alinéa IT, change évidemment cette intégrale, et cela sans violer les conditions (3), en une fonction olotrope déterminée de à, savoir S(a), qui est maximum où minimum en a, et dont par suite (87, 1) la dérivée première S'(a) s’évanouit par a = a. Ainsi donc la détermination de u en fonction de x, et les valeurs numériques des limites x,, x», rendant l’intégrale (5) maæximum ou minimum, ne doivent être cherchées que parmi celles où l’introduction du paramètre a, faite de toutes les manières possibles par les moyens indiqués ci-dessus, annule toujours S'(a).

Comme d’autre part, ainsi que nous le constaterons bientôt, cette dernière condition, à elle seule, procure dans tous les cas la détermination complète de u(x), +,, x», il sufiit de la faire intervenir, pour assigner avec précision les seules circonstances pouvant faire naître un maximum ou minimum. C’est ce que nous ferons dans les numéros suivants.

V. Il resterait ensuite à s'assurer qu’on a bien obtenu ainsi, soit un maximum, soit un minimum, et pour cela à étudier les dérivées ultérieures de S(a); mais, dans les questions courantes, les données le disent a priori et rendent superflue cette pénible discussion que nous passerons entièrement sous silence.

Nous laisserons également de côté” tout ce qui concerne les maximums où minimums singuliers, ceux par exemple pour les-