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quel que soit a et, en particulier, pour a=a. Quant à la fonction u(x, a), elle prend évidemment la forme

u(æ, a)=u(x)+(a—a)(æ —x)iti(x— x) Hy(x, a), M. — III. 10

puisque la différence u(x, a)— u(x) doit, pour à — a, s’évanouir quelle que soit x et, quel que soit &, s’annuler encore elle et ses dérivées par rapport à æ jusqu’à l’ordre X, pour æ = x, Jusqu'à l’ordre X, pour æ = x. Comme on a, d’autre part,

a(æ,a)= (Ver) + Wa(r)(a—a)+2a(x)(a— a)? +..

(W)3(x), (Ma(x), ... étant maintenant des fonctions de x entièrement arbitraires, et avec cela du(æ) — ÔX1 —= ÔXe —=0)

il vient facilement (Ou)aa= (x — x JU (æ — x9)90+2 W3(x)da,

formule dont la combinaison avec (16) et (21) laisse simplement

N > MN pres du dm GS) = dà [ Ho) 1 (z, TE Me Na Pere

X (x — UT (œ — x.) Ga(æ) $

Pour que cette intégrale s’évanouisse quelle que soit la nature de (0/#(x),1l faut donc que le facteur entre crochets qui y muluplie cette fonction soit nul, quelle que soit + de x, à x,°; sans cela en effet, on rendrait cette intégrale évidemment non nulle en substi- ‘tuant à (0/8(x) quelque fonction offrant pour toute valeur de x le même signe que le facteur en question. Or ceci exige que l’équation (20) soit satisfaite pour æ comprise entre x, X5, par suite pour æ = x, et æ = x, aussi, puisque les valeurs que son premier membre prend alors sont les limites vers lesquelles il tend quand on fait tendre x vers x, ou vers x».

IT. L'intégration de l'équation différentielle (20) donne (si l’on néglige ses intégrales singulières possibles) (22) uEC)= 0(2, Ci, C>, UE A)

où v est une fonction déterminée de x et des 2m constantes arbitraires Gi, Co, «+, Com (409*), à déterminer ultérieurement d’une manière convenable; elle donne par suite

(23) DE 0 (0) 01,10: RPC)

où C3, ..., Cam représentent maintenant 27n fonctions arbitraires