CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM. IT
nombre possible de variations (Æ en général); dans le résultat de cette élimination, on égalera à zéro les multiplicateurs des 2m + 2 — k autres variations, et ces nouvelles équations adjointes aux Æ conditions (34) ainsi qu'aux 4m formules (25) formeront un système de 6m + 2 équations à résoudre numériquement pour obtenir les valeurs des 6m + 2 inconnues z,, ui, ui, ..., un, Dora Us 0, Ci, Cas +: +, Com, dont les dernières portées dans la formule (23) achèveront la détermination de la fonction inconnue .
Ces 2m+2—/X équations complémentaires seront ainsi à choisir convenablement, quelquefois même à volonté, parmi toutes celles égalant à zéro les déterminants de Æ +1 colonnes quelconques des coefficients de variations dans les équations (24), (35) qui les contiennent toutes d’une manière linéaire et homogène.
IV. Ajoutons à cette solution des observations de détail trou-
vant quelques applications dans la pratique.
0F du ——
identiquement, et la formule (18) réduit léquation différentielle
1° Quand la composante F ne contient pas w, on a U — ()
fondamentale (20) à
dU'! di am Un) DER SME, AE SM SERRES RO LE. TC NE dx dx? Um dam À
* dont le premier membre est la dérivée première d’une fonction composée différentielle évidente de x, u. En égalant donc celle-ci à une constante arbitraire, on obtient immédiatement l'intégrale première pe ne,
HeeC
— U RE AL A rie dx GE dx—1
Si F ne contenait ni w n1 &/. on aurait U — U/— 0. d’où l’inté- 2 1 pl grale seconde
dU" Von ES ER Cr dx et ainsi de suite.
2° En supposant, au contraire, F indépendante de æ, et — 2
seulement l’ordre m de la fonction composée différentielle (4), on à F(:0:0,0(%, uw, u', u')—o identiquement, d’où simplement dF du , du
152 TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES. L’équation différentielle (20) se réduisant alors à
6: U dU' d2 ur PT dr CAT l'élimination de U, au moyen de la relation (36), la change misi-
blement en
dF d (u cu Are A (u du dU' F4 \
dx dx\ dr)" dx dx? dr da,
On a donc alors cette intégrale première
Te) du PATCARL c"
F=(u-* Pre ET
qui s’adjoint naturellement aux intégrales trouvées ci-dessus (12) quand les causes assurant l’existence de toutes agissent simultanément.
99. Quelquefois, mais c’est bien rare, la fonction composée | )
renferme en outre une ou plusieurs quantités du genre de (1), (2), c’est-à-dire quelques valeurs prises aux limites de l’intégrale (5) par x, u, u', .... En supposant, pour fixer les idées, qu’elle en renferme une seule, et en représentant celle-ci par À, voici les modifications fort légères à apporter dans les raisonnements ci-dessus (96 er sute.).
1° Comme il s’agit maintenant de F{x, u, u/, ..., ut), Xl faut ajouter au second membre de la formule (10) le terme
2° Par suite, le groupe $ de la formule (16) contient en plus le terme
pouvant fort bien se réduire avec un autre terme en dÀ qui sy trouverait déjà.
3° L’équation différentielle fondamentale (20) contient À à titre de variable paramétrique, et son intégrale générale est: ainsi une fonction déterminée, non seulement de x et de constantes arbitraires, mais encore de À.
