CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM
4° Après l'obtention de gette intégrale générale, après l’exécution de l'intégration définie de x, à æ, que comporte son calcul, le multiplicateur de à) dans le groupe $ devient ainsi une ne tion déterminée des quantités (25) et de À.
5° La détermination s'achève ensuite comme dans l’alinéa II du n° 98, à cela près que les conditions aux limites (3) peuvent ne pas contenir À; que les seconds membres des formules (25) contiennent certainement cette quantité, et que, si À est uŸ, 7 étant > K;(i=—1 ou — 2}, il faut adjoindre à ces formules
À 2 uy — vY)(æ;, er …..) Com; À)
pour pouvoir exprimer toujours au moyen des quantités (29) seulement, toutes les valeurs de w, w/, ... qui sont à considérer aux limites de l’intégrale Cr:
100. Passons au cas où la fonction composée différentielle F figurant dans l’intégrale définie proposée (5) dépendrait de plusieurs fonctions simples indéterminées, de deux seulement &w, e pour fixer les idées, et serait ainsi
E(zx, U, ie so'E utn), Ÿ, p", Aa ptn)), La formule (10) devient naturellement
0F Ne (37) Fe du +... so dut) D do... + 96 Spin),
our) dot)
moyennant quoi et l'intégration par parties pratiquée au commencement du n° 97, on arrive facilement à
(38) | ïS=9+ f (Uèu+vêv)ar,
où, enreprésentant par U, ..., U(/, V, ..., V() les coefficients des variations dans la relation (33), on a
Pa dU' dmUUn)
10 nr à 7 Le 0 pes parrou, dN' dr Vin)
2755 NE ne 7e pr (yo Dee mr
où Best toujours une expression linéaire et homogène par rapport aux variations de æ,, æ, et des valeurs correspondantes de w,
ul, ..., #, p', ..., ayant pour coefficients des fonctions déterminées de quantités de ce genre.
1. Si l’indétermination des fonctions simples w, + est complète (sauf les très légères restrictions imposées par les conditions aux limites), celle des fonctions de x à prendre pour leurs variations du, de (en a — à) l’est dans la même mesure, et, en raisonnant exactement comme au n° 98, |, on trouvera que la condiuon 05 — 0 entraine d’abord les deux équations différentielles simultanées entre &w et +
(39) Ù = 0, LUE par suite avec elles (40) $ —0
(aucune confusion n'étant maintenant à craindre, nous simplifierons nos notations en Y supprimant, comme nous avons déjà commencé à le faire, toute distinction entre les quantités encore indéterminées et ce qu'elles sont après leur détermination).
L'intégration des équations (39) donne w et # exprimées en fonction de x et d’un certain nombre de constantes arbitraires à déterminer ensuite ainsi que &,, æ,: de manière à donner satisfacuon simultanée à la condition (40) ainsi qu’à celles
Li MORTE D
pouvant être imposées, aux limites, entre æ1, WU, W°, ..., Lo, Us, !
u,, .... La méthode à suivre est toute semblable à celle des alinéas IT et suivants du numéro cité.
IT. Si, au contraire, u, v sont assujetties à salisfaire à une équation donnée que nous supposerons finie et écrirons
( 41) Q(æx,u,6)=0,
on ne pourra y introduire le paramètre a que de manière à vérifier cette équation quel que soit a. En la différentiant donc par rapport à &, 1l vient
équation en vertu de laquelle dv, par exemple, reste entièrement
CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM. 155 arbitraire (sauf encore les menues restrictions apportées par les
conditions aux limites) el uw s'exprime au moyen d’elle par la formule
La subsutution de cette expression de du transforme le multiphicateur de dx sous l’intégrale (38) en le produit de deux facteurs dont l’un est une fonction composée différentielle déterminée de w, #, l’autre de. Le raisonnement du n° 98, I, fondé toujours sur l’indétermination quasi absolue de dv, montre que le premier facteur doit être nul identiquement, c’est-à-dire que w, + doivent satisfaire à l'équation différentielle
ÜÙ 7 | (42) | 0@ dQ@ | =0, D op |
qui réduit la condition générale ÔS — 0 à (43) Ms 0:
Les équations (41), (42) forment un système différentiel mixte (376*, V) d’où l’on tire w, 6 en fonction de x et de constantes arbitraires. Ces dernières se calculent ensuite ainsi que x,, æ2 en faisant intervenir la condition (43) et celles aux limites s'il y a à se préoccuper de quelques-unes. Nous croyons inutile de revenir sur ce point.
II. Maintenant, le lecteur aperçoit sans doute comment il faudrait procéder, si la fonction différentielle F à intégrer dépendait de fonctions simples indéterminées en nombre quelconque, soit indépendantes les unes des autres, soit liées entre elles par des équations finies plus ou moins nombreuses, ou bien encore s1 elle contenait en outre quelques valeurs aux limites de x, u, u/, ...,
mm, ..., : -. (Cf. 99).
IV. Nous laissons de côté, parce qu’il est inutile à la pratique, le cas où, au lieu d’être toutes finies comme dans l'alinéa II, les liaisons préalables imposées aux fonctions inconnues w, #, ... comprendraient des équations différentielles.
101. On peut encore se proposer de rendre l'intégrale (5) maximum ou minimum sous les conditions aux limites (3) mais compliquées par cette autre que la fonction indéterminée u rende une seconde intégrale du même genre égale à une quantité donnée; c’est ce qu’on nomme un maximum Où minimum relatif (Cf. 91). La nouvelle condition s'exprime ainsi par une équation de la forme
PEN. [ cæsr
où G est comme F une fonction composée différentielle donnée de uw, de tel ou tel ordre, T une quantité donnée aussi numériquement.
En égalant à zéro la variation de l'intégrale (5), celle aussi de l’intégrale (44), puisqu'elle doit conserver, quel que soit @, la valeur invariable T', en développant ces variations comme nous l’avons expliqué au n° 97, on trouve les deux conditions à remplir simultanément
Le (45) 8 + A Ôu.dx — 0, . (46) u+ f € OUT = 0,
où les multiplicateurs de du sous les intégrales sont des foncüons composées différentielles déterminées de w, et où les termes en dehors sont des sommes de produits de fonctions déterminées des valeurs aux limites de x, u, u', ... par les variations de quelques-unes de ces valeurs.
En posant donc
JR & du.dx — w(x),
la nature de cette fonction w et l'équation (46) l’assujettissent aux simples conditions |
