CILAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES

que nous savons calculer parce que la fonction sous le signe f est maintenant rationnelle (170**), (171**), (188**), (1 et suiv.). On

achève en opérant la substitution inverse { — efx,

13. Pour faire saisir complètement le mécanisme de la première méthode, nous l’appliquerons au calcul de

dx RENE TT rTre cosxz — H

MOLENTI

en supposant réelle la constante H d’ailleurs quelconque, On voit de suite que f(x) admet 27% pour période élémentaire, q P P que ses valeurs polaires sont toutes deux nulles parce que celles de cos x sont infinies (264**) et qu’elle est du second ordre (266**). Cela posé, il y a deux cas bien distincts à considérer.

I. Quand on a (2) | 3 Eee 1 les racines de l’équation (3) cosæ — H — 0

sont loutes simples, aucune d’elles n’est multiple de 7, et en

lant h!, k" — — h/, deux d’entre elles 1 or appelant L!, " = — h', deux d’entre elles incongrues qu'on peut supposer dans une même bande, la décomposition de f(x) y donne les seules fractions simples

FL: |. 2 Be h, VEN où l’on à æ—h T ie ÉÆ — [= Ursinn 7 (CT, DS I OA (4) sin (En?

cela encore parce que dans cette bande le résidu intégral de f(x) s'évanouit (267**).

On a donc aussi (280**) J(&)=A'ËE(æ—h,aorm)+A"E(æ—h", ar);

ici la constante A, du numéro cité se réduit à o, parce que l’éga-

lité (4) assigne précisément au second membre les valeurs polaires 0,0 du premier (278**, IV).

On en conclut (295**)

Sf(x)dx = A'lo(x—kh', 27r)+ ATo(x — h",27r)+ 0

PO R',59m te TEE 2T) & . @œ+k sin

Pour H?>>1, L' est imaginaire, mais il est facile de rendre une forme réelle à l'expression précédente. On a cosk!= H et sin X!— &/H?— 1, le radical étant pris avec un signe convenable;

en développant donc les deux termes de la fraction placée sous le

h' cos —

et posant LV — K

signe /, les multipliant par 2 Mr:

En 217

cos— l'expression ci-dessus peut s’écrire 2 I £ Te ] dr x ; —— | — [{ Kiang- —5)— — /[Ktang— +i) + G VH2— 1 L2t 2 21 2 T

a — arctang|( K ang?) 2207. (918:%) VH2— ; D ( te] 2% ( )

II. Quand la condition (2) n'est pas remplie, l'équation (3) n’a que des racines doubles, et en appelant L l’une d’elles, la décomposition de f(æ) donne, dans la bande correspondante, une seule

fraction simple de la forme À

ce dont on s'assure en faisant le calcul ou bien plus simplement en se souvenant encore que dans chaque bande le résidu intégral de f(x) s’évanouit (267**).

On a donc (280**) f(æ) = AËs(x —h, 27),

parce que les valeurs polaires de la fonction £, sont nulles comme