INTÉGRALES MULTIPLES RÉELLES

Intégrales doubles.

103. Jusqu'à présent, les intégrales multiples ne se sont guère introduites que dans les applications géométriques et mécaniques; c’est pourquoi nous ne considérerons que des quantités réelles. Quand il n’y a que 2 ou 3 variables indépendantes, comme dans les questions dont nous allons nous occuper, on peut les représenter par les coordonnées rectilignes rectangulaires d’un point indéterminé dans le plan ou dans l’espace ; nous procéderons ainsi, aussi bien pour augmenter la clarté des choses que pour en faciliter les applications rappelées à l'instant.

Nous appellerons x, y les coordonnées d’un point indéterminé d’un plan, rapporté à deux axes rectangulaires donnés sur celui-ci, et À une aire simple délimitée dans ce plan par une enceinte consistant en un enchainement d’arcs de lignes dépourvus de points singuliers, aire partant limitée dont nous représenterons la mesure numérique par la même lettre A. Nous appellerons enfin f(x, y) une fonction demeurant réelle et olotrope pour toutes les valeurs de x et de y qui correspondent aux points intérieurs à l’aire A. Cela posé, on a ce théorème fonda-

mental :

Si l’on découpe l’aire À en portions quelconques, de mesures É L (1) Ans ns. RME Se

dont la dimension maximum de chacune, c’est-à-dire la plus

(*) Le lecteur insuffisamment familier avec les notions géométriques que nous faisons intervenir dans cette théorie serait prié de lire en même temps le Chapitre I de notre quatrième Partie (Applications géométriques ).

grande distance de deux points à elle intérieurs, soit inférieure à une même quantité positive l, tendant vers zéro quand m augmente indéfiniment, et si l’on représente indéfiniment par x, y les coordonnées d’un point quelconque intérieur à l’aire partielle an, la somme variable

4 Sym = 2f(X; Y)amn

tend vers une limite S dont la valeur est indépendante du mode de fractionnement progressif de l'aire À.

I. En appelant M la limite supérieure positive qu'on peut assigner à | f(x, y)|, valeur numérique de f(x, y), pour toutes les valeurs de x, y à considérer, on a pour |S»|, valeur numérique de toute somme du genre de (2), l'inégalité invariable