CHAPITRE VI. — INTÉGRALES MULTIPLES RÉELLES

certaines quantités positives invariables Æ, H pouvant être assignées (200*).

À cause de 4, + min ++ +: — Am, la formule (5), appliquée

à la transformation de la somme (4), donne E f(x, Y)Am+p = f(, Y)@m RES [XAx Sr YAY|Gmn+p,

moyennant quoi, en appelant S,,, la somme (4) étendue maintenant à toutes les subdivisions ..., &m»1p, ... de toutes les aires partielles (1), on aura

Sm+p — Sm = ZE [XAr + YAyYlamrp, puis (I) (6) [Sm+p — Sm|<(E+H)lnA; ceci en vertu des inégalités TM Zn: IX TV] < H.

Comme {» est une quantité infiniment petite, la différence

r 4 LE re ; , A Smtp Om en est une aussi, à cause de l'inégalité (6); par suite (54*) la somme S,; converge certainement vers quelque limite S, pour tout fractionnement progressif déterminé de l’aire A.

III. En appelant enfin S, une seconde somme analogue à (2) mais construite en découpant progressivement l’aire À et ses subdivisions successives suivant une autre loi quelconque, en imaginant un troisième fractionnement pouvant être considéré comme résultant à la fois de la subdivision des aires partielles qui ont donné S,, de celles aussi qui ont donné S,, et en appelant S, la somme engendrée par celte troisième opération, on peut écrire

Sn — Sn =(Sg — Jm) —(Sg— Sn).

Or nous avons trouvé (IT) lim(Sy— Sn) = Him(Sy— Sn) = 0; on a donc aussi lim(S, = Oomie CONS, lim S,=S;te

que nous avions à prouver encore.

IV. Ces diverses considérations supposent implicitement que f(x, y) est olotrope pour des valeurs de x, y, non seulement correspondant aux points intérieurs à l’aire À, mais encore respec-

uivement comprises entre les abscisses et les ordonnées extrêmes de tous ces points, ce qui n'est pas tout à fait la même chose. Mais quand la première condition est remplie, ce que nous supposons expressément, il est évident qu’on peut toujours décomposer l’aire À en un nombre limité d’autres pour chacune desquelles la seconde l’est aussi. L'existence de la limite S se trouve ainsi assurée pour chacune de ces aires parüelles et: par suite pour l'aire totale À.

104. Dans l'expression (2) on peut même, sans altérer sa limite, supposer que les aires partielles (1) ne remplissent pas exactement l’aire donnée À, pourvu que leur somme ait À pour limite. Car, en nommant ..., 4», ... des aires partielles de ce genre et ..., fm, -...d’autres aires infiniment pelites ausst, dont l’addition aux premières reproduit À, on aura évidemment

lim 28» = 0, et ELf(2; Y)Bm<MERr (103,1; d’où limZf(r, Mn —0, et, par suite,

limEf(æ, Y)am = lim[Sm— 2/f(x, Y)Pn]|= ms, =s.

Pour les aires partielles (1), on peut donc se contenter de prendre des rectangles contigus, sans vides entre eux, dont les côtés sont parallèles aux axes et tous < /», moyennant bien entendu que les sommets saillants de la ligne brisée formant l’enceinte de l'aire variable résultant de leur agglomération soient tous sur le contour de l'aire À; car, d’après la théorie des aires planes, la somme de ces rectangles tend forcément vers À. En prenant alors pour a, un rectangle de cette sorte, nommant x; y les coordonnées de celui de ses sommets pour lequel elles ont les moindres valeurs algébriques et x + Ax, y + Ay celles du sommet opposé, Az, Ay seront deux quantités positives, on aura a» — AxAy; par suite, on pourra écrire

S = limZ=/f(x, y)Ax Ay,

étant sous-entendu que les divers systèmes de valeurs de æ, y, Ax, Ay seront choisis de manière à assurer la disposition topographique ci-dessus spécifiée pour les rectangles a».

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ii mt