CHAPITRE VI. — INTÉGRALES MULTIPLES RÉELLES

105. Le calcul de la limite S se ramène toujours à des intégrations de différentielles comportant chacune une seule variable indépendante. Nous le démontrerons comme il suit.

1. 1° Zn décomposant l’aire À en une somme ou différence de plusieurs autres A; A; +...+ A; dans chacune desquelles f(x, y) jouit des mémes propriétés que dans la proposée, et représentant par Si, 92, ..., x les valeurs de S correspondant à ces diverses aires partielles, on a

Si NS Ps So +... = 20 ST 91, Sa, ..., gr désignant des constantes quelconques,

et fr, [2 -.., fx des fonctions toutes olotropes pour les valeurs considérées de x, y, on a

DR T ar ee fa NET

on aura AUSSI S = g lim ZX fi Az Ay + ga lim f, Az Ay +...+ grlimZXfxAx Ay.

Ces deux points sont assez évidents pour pouvoir se passer de toute démonstration.

IT. Quand l'aire À se réduit à un rectangle à côtés parallèles aux axes et déterminés les uns par les abscisses x, X(x < X), les autres par les ordonnées y, Y(ÿ < Y), quand la fonction f(æ, y) se réduit aussi au monôme entier x"y", la limite S est donnée par la formule

X Y | ce f f zmyn dx dy (933), ex C2

où les intégrations doivent étre exécutées dans les intervalles

réels [xX], [yY].

Décomposons, en effet, le rectangle proposé en d’autres tous

‘infiniment petits au moyen de parallèles aux axes menées les unes

par les points d’abscisses croissantes ..., æi, æi41, ..., les autres par les points d’ordonnées croissantes aussi ..., ÿj, Vjgin ve. La formule du binôme donne immédiatement

D TL EE mn +3) LT (Tir 082) + 0 TATIP (Di — Li )P ;

PRÉ — pr = On +) (yen 5) + NT (ii) },

pie

les accolades embrassant des agrégats de termes en nombres limités de la forme de ceux mis en évidence, où p, g varient respectivement dep =2àp=m+i,deg=2àq—=n+rainclusivement, où Ü,,7, représentent des coefficients numériques indépendants de z et de 7.

En multipliant ces deux relations membre à membre, attribuant à &;, y'j toutes les combinaisons de valeurs possibles, X, Y exceptées, puis sommant les résultats, on en trouve facilement une autre

pouvant être écrite

(X#+1 DL El ) (Yr+1 Lu yrr1) =(m+i)(n +1)2xyrAx Ay + 10n,12æt:yY AT AyX |.

Ici x, y, Ax, Ay désignent indéfiniment les quantités 3,7; Lis — Lis Vjxa —Yj; les accolades renferment encore des termes en nombre limité de la nature de celui mis en évidence, où les exposants sont des entiers positifs vérifiant les inégalités x Sy, re ve nn € » s ] Sr] v£n, 5ü+y23, où 04,4, représente un coefficient numérique:

Actuellement faisons tendre vers zéro +, dimension maximum

des rectangles partiels; chacun des termes entre accolades tend aussi vers zéro, car celui mis en évidence, par exemple, est évi-

demment moindre numériquement que

25,4 My,ve®+X-25 x Ay = 05,4 Myu,ve®+X2À;,

M4, représentant ici la valeur numérique maximum du monôme xæby* dans le rectangle proposé A (103, [). Toute l'expression indiquée par les accolades est donc infiniment petite, d'où

A dune Km+1__ x/n+1 LT RARES ie NT AE" er Met RE 4 Y y.

IT. L’aire À ayant toujours la forme rectangulaire spéci-

Jiée ci-dessus (A), si la fonction f(x, y) est la somme d'une

série entière en x — Los Y — Vo; «+ Rm,n(Æ — Lo)" (Y — Yo) +...,

dont les rayons de convergence surpassent, le premier R;;,1la plus grande valeur numérique des différences x — &o, À — &,

+ à TS)