ADDITION I

PROPOSITION TOUT A FAIT ÉLÉMENTAIRE A SUBSTITUER AU LEMME DE CAUCHY DANS LA THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS.

118. Comme on a pu le remarquer, les théorèmes fondamentaux de la théorie générale des fonctions (ceux des n°° 247; 301*, 307*, 362* et suiv.) ont tous pour point d'appui essentiel la proposition du n° 183*, déduite immédiatement d’un lemme dû à Cauchy qui se trouve rapporté au n° 182*, avec de grandes modifications toutefois dans la démonstration et aussi dans la spécification des fonctions auxquelles 1l s'applique. Mais unetrès légère attention suffit aussi pour constater que l’efficacité de la formule (2) de ce n° 183*, considérée comme base de ces divers théorèmes, tient uniquement à sa structure propre, nullement à cette circonstance que la quantité représentée par la lettre Mest une limite supérieure plus ou moins stricte, du module della fonction considérée dans les aires dont il est fait mention. Pour ce motif, et relativement à l’emploi que je viens de rappeler, cette proposition du n° 183*, déduite de raisonnements assez laborieux et indirects, peut donc être remplacée par la suivante dont la démonstration semble être aussi facile et naturelle qu'il est permis de le désirer. |

119. Sc la fonction f(x, y, ...) est olotrope dans les aires limitées Sz, Sy, %., avec les olomètres Ô;, d,, FRS représente PAT Ty; l'y, ... des quantités positives inférieures Des 5 ... respectivement, puis par A. une constante positive convenablement choisie, on a, dans tout l’intérieur des mêmes aires et pour toutes valeurs des indices de différentiation m, Une ralrté |

A OO A0 Le MS ME (1) mod fin,n.)(æ, Vs "5 ) “€ *.# 7 y F'LRI .….… ’ y |

ADDITION I. — PROPOSITION A SUBSTITUER AU LEMME DE CAUCHY. Pad