ADDITION I. — PROPOSITION A SUBSTITUER AU LEMME DE CAUCHY

A cause de ces conditions, et en posant

À N/ 26 QU! x S/ He Sy (7) EE ANNE ER À patriote )

on a évidemment les inégalités (3). Si, de plus, on nomme x, Vo, --- des valeurs initiales des variables prises à volonté dans les aires considérées, puis si, à partir d'elles, on développe f(x, y, :..) par la formule de Taylor, il viendra

(8) CIRE ….) = ET auu,….(z — To Y — Yo)... |,

série entière en Æ — Lo; Y — Vos + --, admettant Ôz, dy, ... pour rayons de convergence, et les inégalités

mod(r — Lo) < ee mod(y — Yo) < Ô’,

subsistent tant que æ, y, ... restent intérieures aux mêmes aires. On obtiendra donc immédiatement l'inégalité (1) dans le cas

qui nous occupe, en appliquant la formule (5) à la série (8), et

en posant N/ NA ATuRE ( >, à x à = & e. + + ES AO + < \ De + dy ry +0 :

III. Votre proposition est vraie, quelles que soient les dimensions des aires Sx; Jyy oc.

Si dy 0 --. représentent des quantités positives satisfaisant aux inégalités (6), on peut évidemment subdiviser les aires Sx, Sr, ... en des nombres limités de fragments dont les dimensions soient inférieures à à, pour la première, à Ô', pour la seconde, à ...,et les combinaisons d’une subdivision de S;, avec une subdivision de S,, avec ..., sont aussi en nombre limité N.

Comme notre énoncé s'applique à chacune de ces diverses combinaisons (IT), sauf l’adoption successive, pour la constante L, de certaines valeurs convenables 4”, 4”, ..., 4, il s’appliquera évidemment aussi aux aires considérées tout entières, moyennant

l’attribution à 4 d’une valeur quelconque supérieure à toutes celles-ci.

120. Outre sa simplicité, cette démonstration a l’avantage de rattacher immédiatement aux principes mêmes de l’existence des

séries entières, ceux qui confèrent une solidité inébranlable à la théorie des fonctions basée, comme elle l’est dans cet Ouvrage, sur la considération exclusive de ces séries.

Il est évident, en outre, qu’à l’aide de cette proposition on pourrait édifier, pour les fonctions réelles de variables réelles, la même théorie identiquement, mais affranchie cette fois de toute allusion aux quantités imaginaires. Elle semble donc enlever à l'introduction systématique des séries entières dans l’analyse le caractère artificiel qu’on peut lui avoir attribué en la croyant jusqu'ici inséparable de la considération des quantités imaginaires.

La substitution de l'énoncé précédent à celui du n° 183* peut abaisser les limites inférieures sur lesquelles ce dernier permet de compter pour les olomètres des fonctions dont 1l assure l’existence; car ces limites diminuent toujours quand & dans l’inégalité (1) ou M dans celle du numéro cité viennent à augmenter, et la première quantité ne peut être inférieure à la seconde. Mais les observations faites aux n° 202* et 302*, VI ont montré linanité pratique de cet inconvénient.