CHAPITRE II, — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES

T l'intégrale numériquement égale À o(mr+t)sint dt, la lon-

gueur du chemin est * et, à cause de la décroissance constante dew(x), on y a toujours o(mr+t)sint<o(mr).1.1l en résulte liml,, = 0 pour m infini, puisque #(x) tend vers o quand æ est infinie positive; d’où la convergence de la série en question

Tu + PR nn TE Caml CRE

dont les termes sont ainsi réels, de signes alternatifs, et décroissent sans cesse et indéfiniment en valeur numérique (101*).

Pour æ,— ur, la somme de cette série fournit précisément la valeur de l’intégrale (9); or, la valeur numérique de cette somme est inférieure à celle de son premier terme I, (loc. cit.), que nous venons de constater l'être elle-même à r?(u7).

IV. Pour lima — 0, l’intégrale(8) tend vers l’intégrale (5). Dans leur différence

F1—e-a ., “ = sin A, À æ

la fonction qui multiplie sinx sous le signe f est olotrope el positive partout ailleurs qu’en x — 0; elle tend vers o quand x augmente sans limite ; de plus, elle finit par décroître sans cesse,

car sa dérivée DOME eTATR) — 1 L(IRar)er 2x

dx x x?

finit évidemment par rester négative (207**). En prenant donc l’entier 1 assez grand pour que la décroissance continuelle de cette fonction ait lieu à partir de 47, puis écrivant

Fr—e-ar, UV Tr 0220 1—e-aX ., Jk —— — —sinxr dr — —— sinx dx + ——— sinr dr, 0 ie 0 & UT dé

on voit que la dernière intégrale tend vers o pour & infiniment

petit, parce qu’elle est numériquement inférieure à la quantité 1—e—apr 4 Te . ‘ :

NY E ER] (HIT), et que celle-ci est évidemment infiniment petite.

Le raisonnement de la fin de l’alinéa IT, montrant qu'il en est de

même pour la première, le premier membre de cette relation tend

aussi vers o, fait équivalent à celui que nous voulions établir.

V. Il résulte de tout ceci, que la relation (5) peut être mise sous la forme

ou bien encore

[ce]

. co .

en I SATIRE 1 . Sinx ÉTRR T7 dx — [ NUE PR NET ne tang b — arctanga, En e/ 0

4 sin æ eue dx = H — arc tang a,

où H représente quelque quantité indépendante de «. Si maintenant on fait croître & indéfiniment, 1l vient (IL)

. T 0 = H — lim arc tanga = H — —,

7 A At = d’où H — > el par suile

— arc tang a.

Ce)

De ceci, enfin, on déduit rigoureusement la formule (5) en faisant tendre «& vers zéro, puis ayant égard à l'égalité

lim arc tanga = 0,

ainsi qu'aux conclusions de l’alinéa IV.

24. En laissant le paramètre b indéterminé, mais réel dans la formule (5) du n° 14 d’où nous sommes partis, on calculerait de la même manière la valeur de cette autre intégrale artificielle

ts f SRE:

qu'il est toutefois plus vite fait de déduire du résultat précédent.

Quand b est positif, elle est toujours égale à = car, X désignant

une quantité positive, la substitution x — Z donne

Ysinbæ Xiné fine qe 2 fine /0 * «/0 Ê puis, pour X infinie, # (Pr MA je PAL (23) \ AA TE NT t 0