CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES

Quand b est négatif, elle est égale à — à cause de

Xe Re fl sin(— bx) RARE fl sinbx ke Û æ s

Quand b — 0, elle s’évanouit évidemment.

Ainsi donc, l'intégrale (10) est une fonction de b, 4(b), qui

est discontinue en b — 0, puisqu'elle tend vers - quand b est infiniment petil positif, vers — a quand b est infiniment petit négatif,

et Jamais, par suite, vers (0) — o.

Cette même fonction, constante ainsi entre deux valeurs quelconques de b non nulles et de même signe, y est olotrope. Mais la différentiation de la formule (11), opérée sous le signe d’intégration dans le premier membre, conduirait au résultat

DOONE 0 — [ cosbæ dx,

qui est absurde à cause de

x Pre se cosbx dr = ER à b

fonction dépourvue de limite pour X infinie.

Ces anomalies sont de celles auxquelles nous faisions allusion à la fin du n° 20.

Les intégrales (5) ou (10) interviennent dans certaines questions de quelque intérêt; on trouvera des procédés tout différents pour les calculer, ci-après (25, inf.) et plus loin (35, énf.).

25. Quand une intégrale définie est prise entre des limites infinies (l’une au moins), son développement en série par un tronçconnement indéfini du chemin d'intégration, que nous avons déjà indiqué comme moyen de discussion au n° 242*, Il, permet quelquefois aussi d’en calculer la valeur. C’est ce qui a lieu pour l’intégrale (5).

L'égalité évidente

donne

intégrale dont le chemin est copstitué par la totalité de l’axe des quantités réelles, parcouru dans le sens où + croît, et que nous

allons calculer.

En découpant indéfiniment sur cet axe, et à partir de o, des seg-

ments de même longueur r, on trouve

+ oo » 0 T sin æ sin æ sin æ TN = dt dr + dre x z æ 12300 —T 0