CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES
Cette observation permet de calculer plusieurs intégrales définies, en particulier l’intégrale d’Euler
“4 xa—1 L (12) f dx PÈTS + T
prise sur la partie positive de l’axe des quantités réelles, et où, pour æ4-1—eta-1){@), il faul adopter la détermination réelle
de {(æ) (212**).
I. Cette intégrale n'existe pas pour a —=o ou—=1 (à plus forte raison pour a réel et <o,ou >>1), car l'intégrale indéfinie est, dans le premier cas, {(x) — {(1+x)+ C, fonction infinie pour limx—o, et dans le second cas {(1+zx)+C, fonction infinie pour x infinie.
Mais elle existe quand a est une quantité réelle comprise entre o et 1. Nous le constaterions immédiatement au moyen des lemmes du n° 428**, si nous n'avions 1c1 un intérêt spécial à opérer comme il suit (Cf. 242*, I).
Appelons £, æ,, æ2, X quatre quantités positives, la première infiniment petite, la seconde invariable et < 1, la troisième invariable aussi mais => 1, la quatrième infinie, et considérons les trois intégrales
Ti Lo :# x TALN, xa—1 æa—1 (13) dx, —— dd, - dx.
DER LE TER 6 XL | La
Toutes trois existent parce que la fonction à intégrer ne cesse d’être olotrope que pour x — 0 (212**), ou x — — 1, valeurs non situées sur leurs chemins.
Pour modx 1, on peut écrire
xa—1 — æa—1i Le" T4 + TAFI —, 2
rh.
série évidemment intégrable terme à terme (275*); moyennant quoi, si l’on pose
(14) ef = o(a a)
la première intégrale est égale à 25(x,, a) — o(Ë, a); et le second
terme de cette différence tend vers zéro, parce que a est une quantité positive.
Pour modzx > 1, on a de même
œaTi I — ga—2 : IN ) RARE
HEENT
série encore intégrable terme à terme. S1 donc on pose
F a—1 —— — — ,.,. — (2) mi (— a—2 a — 3 ) (ee
la troisième intégrale est égale à D(X, a) — D(x», a), différence dont le premier terme est encore infiniment petit à cause lé dr:
La somme des trois intégrales ayant ainsi, pour limite, la
quantité
Ta æa—1 (16) o(æi, a+ f ET TP (ER CL l'intégrale artificielle (12) existe bien, ayant précisément cette limite pour valeur.
Il. La valeur (16) de notre intégrale est fonction olotrope de a.
Il en est effectivement ainsi pour l’intégrale figurant dans la somme dont 1l s’agit; car, sur son chemin et pour toutes valeurs de a, l'expression à intégrer est fonction olotrope de x, a (231*).
IL en est encore ainsi pour le premier terme de cette somme, parce que, dans le premier membre de la relation (14), le premier facteur est fonction indéfiniment olotrope de & pour toute valeur de x 0, et que, pour modx 1, le second facteur est une série de fonctions de a, à laquelle la proposition du n° 273* est applicable toutes les fois que & ne se réduit pas à o ou a un entier négatif. Et de même pour le troisième terme de l’expression (16), parce que la série (15) est semblable à la série (14).
IT. Quand & est une fraction, la différentielle devient une irrationnelle algébrique dont on peut ramener l’intégrale indéfinie à celle d'une différentielle rationnelle (5). En procédant ainsi, ou bien plus rapidement en employant l’artifice que nous indiquerons
