CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES
bientôt (32, inf.), on trouve alors
G7) fl dx = =;
Vo EC Sin aT
et, en vertu de l'observation faite au commencement du présent numéro, cette formule a lieu pour toutes les valeurs de a que nous considérons, parce que ses deux membres sont fonctions olotropes de & dans l'intervalle réel allant de o à 1 (exclusivement) (11), qui contient des valeurs commensurables de & en nombre illimité, bien qu'il constitue un espace limité.
27. En ajoutant peu de mots aux considérations de l’alinéa Il du numéro précédent, on retrouve la formule (17) d’une manière toute différente.
Quand x, tend vers 1, 9(x,, a) tend vers o(1, a) parce que la série entre parenthèses dans la relation (14) est entière par rapport à x, ordonnée suivant les puissances croissantes de cette variable, et convergente pour x — 1 (101*}, (126*). On trouve de même limP(x:, a)= (1, a).
La somme (16) conserve cependant une valeur constante égale à celle de l'intégrale (12); mais comme son terme médian tend
alors vers o, il reste
2] pari I 1 I Te Cora) db, a) =... — PME +...
ar É (= a, 2) — £1 (= (a — 1), 2e) | (278%, IV, 39)
= T[E(ar, 27) — (ar — 7, 27%)] — so (282**, IV).
28. Si n désigne une quantité positive quelconque, la substi- 1 1 . Es n I ——1 tution x = £", d'où dx — = {* dt, donne
a co 1008 jé ex" dx = = | met di = À r (=) (431%), 0 [12 0 n n
les intégrations étant exécutées sur la partie positive de l’axe des quantités réelles, et l'intégrale considérée se trouve immédiate-
ment ramenée à la fonction T..
On a en particulier
M RS D 1 y 8 —Xx? d. —— LUN —e AO** !
(18) J ° x cr(s) > Vz (440**) Mais cette dernière intégrale, qui se présente dans certaines parties du Calcul des probabilités, peut être encore obtenue par des moyens spéciaux dont voici le plus simple (!). Elle est la limite, pour x infinie, de la fonction
x 1 fta)= | et du NI CET 0 0
cette dernière intégrale résultant de la transformation de la précédente par la substitution u = xv, d'où du = x dv, et l’on a
f(a)=er.
En multipliant membre à membre ces deux relations, puis intégrant par rapport à x sous le signe 7 , Cequiest permis puisqu'il porte sur une fonction olotrope de ?, x, puisqu’en outre le chemin
de l'intégration relative à + est limité, 1l vient facilement
Lf(æ)P = C— EE SAM:
et la quantité C, indépendante de x, est égale à - à cause de
[f(o)[2=0 = C— -[ < re a = C—arctangr= C— © (2198:
On a donc en définitive
1 ro Lf(æ) 1? = . - f De | dy,
et, dans cette dernière intégrale, e* est évidemment la valeur maximum que la fonction à intégrer ‘peut acquérir sur le chemin réel conduisant e de o à 1. Il en résulte que la valeur de la même intégrale est inférieure à e*.1 (237*), qu’elle tend vers zéro
(*) Je dois cette méthode à un correspondant resté anonyme qui a bien voulu me l’envoyer de Toulouse en 1888. Elle ressemble beaucoup à l’artifice classique, mais elle a une rigueur et une netteté qui manquent absolument à. celui-ci.
