L'intégrale artificielle

de (19) ER lsinx dx, | 0

prise sur la partie positive de l’axe des quantités réelles, existe, comme on je constaterait sans peine en appliquant le lemme I du

n° 428**, ou mieux encore en observant que la fonction à intégrer sinæ

peut être écrite / + [(x), somme dont la première partie

FA donne une intégrale naturelle et dont la dernière a pour intégrale indéfinie la fonction x {(x) — x tendant vers zéro en même temps que æ (187**). Son calcul nous montrera la bizarrerie des artifices à employer quelquefois dans les questions de ce genre.

. . . . TC En y faisant les substitutions successives x — s —teté—=#x,

il vient T

0 2 (20) = f Lcosæ de = f lcosx dx, tin 0

d’où, en ajoutant membre à membre (19) et (20),

es Le 2 2 = f Isinæ cosæ] dr = f| [102 )+ 2sin2æ | dx 0 0 - T AD Er É — E1(2)+ f lsin2x dx.

AR 2 à :

ie d re Le La substitution x — - change cette dernière intégrale en

T Lan 7 me Re sf Isinedt=} f Esinede+ à [ Isintdr 2 0 2 0 2 x

T J À I = — Isinede+ = f [sin u du, 2 2 T

et la seconde de celles-ci reproduit la première par la substituon u—r—t. On a donc

TH l 1 74 Isinaz de = À [ l'sint dt = +/0 2/0

moyennant quoi la relation (21) devient

19 E— - (2) + I, d’où finalement