INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES

Différentielles rationnelles.

1. En appelant R(zx) une fonction rationnelle quelconque de x, le calcul de l'intégrale indéfinie fR(x) dx est un problème que nous avons résolu depuis longtemps par la décomposition de R(x) exécutée au n° 92** (!). À l'intégration, les monômes entiers donnent d’autres monômes entiers ; les fractions simples, dont les degrés des dénominateurs excèdent 1, donnent d’autres fractions simples (215*, II, IV), et celles dont les dénominateurs sont du premier degré donnent des logarithmes (170**), (171**), (188**).

Nous avons toutefois quelques observations additionnelles à faire

(') Dans ce Volume, un numéro de renvoi visera la première Partie de l’Ouvrage, la deuxième, ou celle-ci, selon qu’il sera affecté d’un astérisque, de deux ou d'aucun.

dans le cas où les coefficients de R(x) étant réels, quelques-uns des infinis de cette fonction sont imaginaires.

La décomposition de R(x), donnant alors des termes imaginaires, rend imaginaire aussi la forme extérieure de l’intégrale indéfinie; mais comme celle-ci est néanmoins réelle pour toute valeur réelle de + (24**), il est possible de lui donner une autre forme sous laquelle sa réalité soit apparente. Cette transformation n'offre aucune difficulté, car, à cause de la réalité supposée aux coefficients de R(zx), les termes imaginaires provenant de sa décomposition sont de toute nécessité conjugués deux à deux (74), ceux aussi, par suite, qui leur correspondent dans l'intégrale; il suffit donc de transformer convenablement les résultats de l’accouplement de ces derniers pour obtenir la forme voulue. La chose est évidente pour les fractions simples. Quant aux paires de Lee rithmes, chacune d’elles est de la forme

(A! GA") L(œ — à — ia") Æ(A'— SAM) [5 at ca),

où sont mis en évidence les éléments +, 4” et A’ et A’ de lPinfini et du résidu correspondant. Or cette somme se transforme immé-

diatement en A'l[(æ—x)?+a"?2]+cA"Tl(x—ux— ia") — (x —ax + ix)],

et la dernière partie de celte expression peut s’écrire

T— a I T— a æ— 4 AE Al 5 —i)- 5 5 +) | =—2 "are tang ( ; )»

à une quantité constante près (185**, ILT), (218**).

A l’époque où l'emploi des quantités imaginaires était restreint aux questions purement algébriques, on transformait la différentielle elle-même en termes réels se prêtant à l'intégration, et, quoique ce procédé soit moins net et plus laborieux, nous devons l’exposer pour nous conformer à l’usage. Il a pour base un cas particulier du théorème suivant.

En posant R(x) — Er f(x)

où F(x), f(x) sont deux polynômes entiers premiers entre