CHAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES

eux, puis

f(æ)=[P(x)]5IQ(x)X...[T(æ)F, Où S,Y, -.., 7 Sont des exposants entiers positifs, où (1) P(x), Q(+), ne T(æ)

sont des polynômes entiers, dont deux quelconques sont premiers entre eux, la fraction rationnelle R(x) est décomposable, et cela d’une seule manière, en une partie entière E(x) et des fractions plus simples, ayant pour dénominateurs, des puissances des polynômes (1) marquées par des exposants non supérieurs à ©, 4, +.-, T l'espectivement, pour numérateurs, des polynômes entiers en x, dont les degrés sont inférieurs à ceux des mêmes polynômes (1) respectivement.

I. Si l’on nomme /,(x) le quotient de la division de f(x) par [P(x)]5, lequel est premier à P(x) par hypothèse, et A,(x) quelque polynôme de degré inférieur à celui de P(x), l'identité à réaliser,

(2) D Come | eme he

fæ) [P@AG) (PG)E ‘| entraîne évidemment pour la différence

F(x) ___Ao(æ) A F(æ)—fi(z)Ao(x)

PGA) [P(z)] PIE fi(x) la propriété de se réduire à une fraction rationnelle (irréductible ou non) ayant pour dénominateur le produit de f,(x) par une

puissance de P(x) dont l’exposant est < 5. Elle entraîne, par suite, pour le polynôme

(3) F(æ)—fi(x)Ao(æ)

celle d’être divisible par P(x), c’est-à-dire de s’annuler pour chaque zéro de P(x), lui-même et toutes ses dérivées d’ordres inférieurs au degré de multiplicité de ce zéro.

Réciproquement, si l’on prend pour Aç(x) un polynôme de degré inférieur à celui de P(x) qui fasse acquérir cette propriété à la différence (3), elle sera divisible par quelque puissance de P(x), moyennant quoi R(æx) sera décomposable en la fraction plus simple mise en évidence dans la relation (2) et en une autre

fonction rationnelle dont le dénominateur sera le quotient de f(x) par cette puissance de P(x). Ensuite, il n’y aura plus qu'à poursuivre la même décomposition sur cette nouvelle fonction et les subséquentes jusqu’à ce que le dénominateur ne soit plus divisible par P(x), puis à y faire intervenir successivement Q(x}), ..., T(x) au même titre que P(x) antérieurement, pour amener la fonction rationnelle complémentaire à dégénérer en un simple polynôme entier E(x).

Il. Les équations de condition exprimant ainsi que la différence (3) admet les divers zéros de P(x) aux mêmes degrés de multiplicité respectivement sont en nombre total M, degré effectif de P(x). Et, comme par hypothèse aucun de ces zéros ne peut annuler f,(æ), on voit facilement que pour chacun d’eux x; de degré de multiplicité m;, elles fournissent les valeurs de A,(x;), Ai), .,., AH (x;). Le polynôme As(x) meta degré M—1:1, ses coefficients dépendent ainsi d’un système d'équations linéaires que nous savons être possible et déterminé (411*).

IT. De là résultent à la fois, et la possibilité de la décomposition cherchée, et l’impossibilité de l'exécuter de plus d’une manière; car dans chaque phase de l’opération, le polynôme analogue à A,(x) est entièrement déterminé. Ce dernier point s’établirait facilement encore par un raisonnement analogue à celui du n° 40**.

3. Revenant maintenant à notre intégration, nous observerons que, les coefficients de f(x) étant réels, ce polynôme est décomposable en un produit de puissances de facteurs deux à deux premiers entre eux, à coefficients réels, et des formes (æ — x)? + d'?, x — 6 (où &’=<o); que R(x), par suite (2), est décomposable en une partie entière, évidemment réelle, en fractions simples proprement dites, réelles aussi, et en d’autres fractions de la

forme [Ir +J (4) ROLE TA NT

En outre les coefficients I, J sont nécessairement réels, car, pour en calculer la première paire par exemple, il faut, d’après

CHAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES. x] le numéro précédent, résoudre les équations simultanées F(aÆ ia" )—fi(a Æ zx )[I(x + ia") + J] = 0,

équivalant à

CAR RAA RES H”, a"I Æs F7 ] s F ; :

H'Æ ; H” représentant les valeurs de — co pouræ=u xt ia, qui Ji(æ) î

sont conjuguées parce que les coefficients de F(x) sont supposés réels aussi.

4. La partie entière de R(x) et ses fractions simples ne donnant dans l’intégrale que des termes réels qui nous sont connus, il nous reste seulement à intégrer la fraction (4) (et toutes celles du même genre), ou bien, ce qui revient au même, les expressions

2(%— «') “a EE

qui la reproduisent évidemment quand on en ajoute les produits Ja'+J ap-1

par les constantes -, Hp)