CIIAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES

l’indétermination de la fonction f(x) permet de multiplier indéfiniment.

Soit, par exemple, «a = a'+ ia” une quantité non nulle quel-

I D ’ , ——; la relation précédente deæ(x + a)

conque, et prenons f(x) —

vient (236**)

2T dt Le f | ve (Rcost+a')+1(Rsint+ a") MC

Quand R est < moda, f(x) a dans le cercle S l’infini unique

Re [ I ; WATT æ = 0, auquel correspond le résidu 7 L légalisation des éléments homonymes donne donc 2T ! f (R cost + a')dt 2TA z R+a2+a?+oR(acost+asiné) a?+a?

É (Rsint + a”)dt MON 2T a d R+a?+a?+o2R(acost+asmt) a?+a?

Quand R est > mod, f(x)a dans le cercle S les deux infinis o, — a donnant des résidus dont la somme est nulle, et les seconds membres de ces deux formules doivent être remplacés par zéro.

On remarquera la discontinuité de ces trois intégrales considérées comme fonctions des paramètres g/, a". Elle tient à ce que, pour des valeurs réelles de ces quantités donnant a'? + a"? — R?, t prend sur le chemin d'intégration quelque valeur annulant KR cost + a!, Rsint + a” à la fois, faisant ainsi entrer dans des phases singulières les fonctions à intégrer et, par suite, les intégrales elles-mêmes.

31. Les formules particulières qu’on peut déduire de ce théorème de Cauchy en sont rarement aussi rapprochées que les précédentes, et beaucoup d’entre elles s'appuient en outre sur ce lemme très simple :

Soient [C] un chemin d'intégration limité, invariable (ou méme variable), et f,(x) une fonction de nature variable avec la valeur de l’indice infini n, mais qui y est olotrope quel que soit cet indice. S’il est possible de partager ce chemin en troncons vartables, les uns en nombre ty, |