ETAT PR A (TA

et de longueurs (finies) T,,T,, -.., Tr, sur lesquels modf,(x) reste inférieur à quelque quantité positive infiniment petite @n, les autres en nombre j, également fini,

[és él 28 Tén,

ns Épy ++, Ur) toutes infiniment petites, sur

lesquels mod f,(x) reste inférieur à des quantités positives ®,, " J . . .

D, +.., Din snvariables ou telles, tout au moins, que les pro-

duits D,t,, ..., Dr {0 sotent tous infiniment petits, l’inté-

grale définie

de longueurs À

Sfa(x) dx prise sur le chemin | C] est certainement infiniment petite.

La décomposition de l'intégrale en parties correspondantes à tous ces tronçons, combinée avec l’observation générale du n° 237*, montre immédiatement que son module est inférieur à

On Th+ onTntee+ on TU + Dit, + Prén +...+ Din glin), somme d’un nombre fini de termes dont chacun est, par hypothèse, une quantité infiniment petite.

32. Comme premier exemple, nous prendrons le calcul de l'intégrale (12) du n° 26 pour les valeurs commensurables du paramètre a.

I. En appelant n << y deux entiers positifs quelconques, la substitulion x = é", d’où dx = vt"-1dt, donne d'abord

co V tu 1 (3) dæ =» ff ee

et l'intégration, qui intéresse maintenant une différenuelle rationnelle, est toujours à exécuter sur la partie positive de l’axe des quantités réelles.

IT. La fonction méromorphe de € qu'il faut intégrer a pour infinis, tous simples, les racines de l’équation binôme

(= —1— enr,

CHAPITRE II. -— CALOUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES. 43 c’est-à-dire les y quantités mi mi 2m Ti jy, 2 = PARA eN. LV se ei y O7), (109**, IV), (204, VE dont la première 6 tombe seule évidemment à l’intérieur de l’angle

compris entre la partie positive de l’axe des quantités réelles et 2Té

la demi-droite allant de l’origine 4—0 à t—e" — f?, racine principale directe vi" de l’unité (Loc. cit.).

Si donc, appelant + quelque quantité positive, on construit un premier contour fermé [c] avec les trois segments rectilignes ayant pour extrémités : le premier, les points 4—0, 4 —7, le second, les points &— +, é — $2+, le troisième, les points t — f?7, t— 0, un deuxième contour fermé [| C], homothétique au précédent par rapport à l’origine O,; avec un rapport de similitude infini p, finit évidemment par contenir cette racine $, mais aucune autre avec elle. Par suite (189**) l’intégration de notre différentielle, faite sur ce dernier dans le sens direct, donnera

1 du 1 NE — Bent j dt=orif = — 2TL Ve à lis ET BI+ +: 1=$

à cause de "= ei — 1, puis, par la décomposition de [C] en parues homologues à celles de [c] énumérées tout à l'heure,

PT yu—1 PT jui tu—1 ; (2) dt + a+ [ dt = — 2 pu.

D li LX Le Eu 4 Beprl + À V

III. Dans cette relation, la première intégrale tend évidemment vers [, valeur de celle qui figure dans le second membre de la transformation (1). La troisième tend vers — f?4], car la substitution £ = Ê?s, d’où dt — $?ds, la change en

0 2 ak MTS (B2s)t B2 ds = — ge f Æ ds.

1+(8B2s)" 1 + SY

pT Quant à la seconde elle est infiniment petite; effectivement la substitution {= ps, d’où dt = p ds la change en

pèr f ps ne LA OMSY

ÉAT)

qui est telle, parce que le chemin d’intégration est précisément le segment rectligne invariable conduisant de s — +, à s — $2%, sur lequel, à cause de a << y et parce que s n’y prend jamais la valeur zéro, le module de la fonction de s, placée sous le signe, reste évidemment inférieur à quelque quantité positive tendant vers zéro (237*). |

À la limite, la relation (2) donne donc

G—By)l = — © Bu, d'où (234**) Et nee OU art | vrls RCE T Au 2 1 | UE 21 7) VON sin T

valeur dont le report dans la transformation (1) donne bien la formule (15) du n° 26 pour le cas considéré.

33. Nous passons au calcul d’intégrales définies dont les différentielles rentrent dans la forme générale étudiée au n° 47.

En appelant D une constante réelle Zo, F(x), f(x) deux polynômes entiers dont le degré effectif x du second surpasse celui du premier, l’intégrale artificielle

mn f&)

eibx A

prise sur un segment infini de l’axe des quantités réelles qui ne contient aucun zéro du dénominateur f(x), existe toujours.

Car si le degré effectif de F(x) est £ 1 — », il résulte immédiatement de la réalité de la constante D que, pour x infinie positivement ou négativement, le produit de la fonction à intégrer par +?, puissance de x dont l’exposant surpasse 1, est fini (20 LT

Si, le même degré étant — y — 1, on a, par exemple, JT) = auTtt+ ay at + F(r)='Apittri+ Ap=9mHm2,

avec 470, Ày 1 0, on divisera le chemin d’intégration, s’il y a lieu, en deux parties, l’une limitée contenant le point æ — 0, l’autre illimitée ne le contenant pas; puis, en se bornant comme