CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES

de raison à la considération de l'intégrale partielle afférente à ce chemin, on prendra H — À,,: «ay, et en écrivant

F(x) H (Ayo — Hay-1)2rt1 +...

FL EN Ne Re RER RER TC) r t(ayth +...)

on décomposera cette intégrale partielle en deux autres dont la seconde existe certainement par ce qui précède puisque, dans la fraction rationnelle correspondante, le degré effectif du dénominateur surpasse de deux unités au moins celui du numérateur.

Quant à la première, elle existe aussi; car, au facteur constant H près, elle est

ZT co + :

* sinbr

à Æ © eibx T cosbr 4 TE Ga — dx = — dr +i dx, se z s x A z 0 û

Dar

: - PT l et les substitutions + = + 5 ( + QE He 3 font rentrer ces dernières (au signe près) dans la classe de celles dont nous avons démontré l’existence au n° 23, III.

De cette discussion résulte l’existence constante de l’intégrale

considérée, dont la valeur est fournie par la formule suivante.

Quand f(x) n'a aucun zéro réel, on a

é F(x}eibx eibx dx = +oriS Le)

où Fene FOR

où il faut intégrer sur latotalité de l’axe des quantités réelles, puis, st b>0o, adopter le signe + en étendant le résidu aux seuls zéros de f(x) dont les seconds éléments sont positifs, ou bien, st b Lo, faire tout le contraire.

Pour fixer les idées, nous supposerons b =0; nous appellerons ë, n deux quantités positives invariables, [c] le périmètre du rectangle ayant pour sommets les points x; = — UGS ARE Li —6—+in, Li——E+in, et [C] le périmètre du rectangle homothétique à celui-ci par rapport à l’origine O; avec un rapport de similitude infini o. La fonction à intégrer étant indéfiniment méromorphe, et le contour [C] finissant par envelopper exclusivement tous ceux de ses infinis [ce sont les zéros de f(x)]

dont les seconds éléments sont positifs, une intégration directe

exécutée sur lui donnera (189**)

10) EE es eibx de = +oniS PALIER

(5) Fa C. ftæ)

où le calcul des résidus intéresse seulement les infinis en question. La décomposition du rectangle [C] en ses quatre côtés donne