CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES

positive infiniment petite rendant néanmoins infini le produit 07’

ue exemple, on pourra faire 7— 9 :) nous poseronst—£+ir/, quantité qui tend vers E— %2,et nous décomposerons son chemin d'intégration en deux tronçons, l’un [xt] de longueur infiniment petite, l’autre [t x; ] de longueur finie (tendant vers celle du côté [+23 |). Sur le premier tronçon, le module de la fonction à intégrer reste inférieur à quelque quantité positive invariable ; car celui de son premier facteur est tel pour une cause déjà invoquée dans la discussion de la première intégrale, et celui de son second facteur — e?8!” est £1 à cause de {’Z0, d’où — bot"<o. Mais sur le second troncon, le même module reste inférieur à quelque quantité infiniment petite; car le module du premier facteur de £(o, t) est fini comme tout à l'heure, et, à cause de o 7”<#", celui du second facteur e’trt, égal à e66t”, est << e7 ter” où le produit pr” est infini positif. Cette première intégrale est donc infiniment petite (31), et l’on prouverait de même qu'il en est ainsi pour la dernière du groupe (5).

34. Comme application, considérons l’intécrale PP Ù +o ; eibx JA dx, [1 + x?

et supposons b > 0. Le seul infini de la fonction à intégrer dont le second élément soit positif est auquel correspond le

résidu as La formule (4) donne donc

+æo pibx $ dx = re-é.

Elle donne aussi

ut e—ibx ——— dx = rerb.

RS ms

En ajoutant puis en retranchant membre à membre, il vient

FT cosbx : Psinozr | - LC ET eee ; dx = 0.

UD EE CN Enr

On trouvera de la même manière

æcosbx æsinbr sr 1É TSI STE D ARMEAT Vv ri k LH

Etc.

39. Quand le polynôme f(x) a des zéros réels, l'intégrale arlificielle dont nous nous occupons devient infinie ou indéterminée; mais la considération de sa valeur principale (244*), quand elle existe, permet de conserver la formule (4) en y faisant toutefois quelques modifications.

Comme la fraction rationnelle Fax) est entièrement résoluble

en fractions simples, et comme le dénominateur de chacune de celles-ci peut être immédiatement réduit à une puissance de la variable, la discussion se limite à celle de groupes d’intégrales de

ASE T + f RS CT ALLER LL MONTE

où ..., 4... s0nt des entiersipositifs et "A4, PR stantes. Nous étudierons seulement le cas d’un groupe de ce genre constitué par l'intégrale unique

‘4 (8) 3 —14r (db => 0),

la forme

les autres n’offrant après celui-ci pas plus de difficulté que d’in-

térêt.

Nous appellerons & une quantité positive infiniment petite, [{] un fragment d’anneau dont le parcours conduit de x= —e,

à æ — +e par une demi-révolution rétrograde autour de l’origine O; et nous intégrerons en marchant de l'infini négatf à — € sur l’axe des quantités réelles, puis de — e à + e sur la ligne { /|, puis enfin de + e à l'infini positif sur le même axe. Un raisonnement identique à celui du n° 33 donne alors

CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES. 49 parce que la fonction à intégrer n’a aucun infini dont le second élément soit posilif.

Le développement

eibx