CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES. o

membre, dont cette quantité (12) peut ainsi être considérée comme une sorte de valeur principale.

Ceci suppose toujours les zéros de f(x) tous imaginaires; si quelques-uns étaient réels, 1l y aurait à combiner ces considéralions avec celle du numéro précédent; mais ce sont là des détails du plus mince intérêL,

31. Les procédés de calculs dérivés du théorème fondamental de Cauchy sont praticables aussi dans des cas où la fonction à intégrer entre dans des phases singulières variées sur le chemin d'intégration. Pour en donner un premier exemple, nous les emploierons à retrouver la valeur de l'intégrale d’Euler (26) par des moyens tout différents de ceux qui nous l’ont déjà procurée Pot); (27):

Nous appellerons £&, X deux quantités positives, la première infiniment petite, la seconde infinie, et nous construirons un contour fermé variable [C] en soudant bout à bout : 1° le segment [£X | de l'axe des quantités réelles ; 2° une ligne fermée [L] ayant tous ses points infiniment éloignés de l’origine O; et conduisant de X à X par une révolution directe autour de la même origine ; 3° le segment [ X£] géométriquement égal au précédent, mais à parcourir en sens contraire; 4° une ligne fermée [ /] ayant tous ses points infiniment voisins de O,et conduisant de £ à £ par une révolution rétrograde autour de cette origine.

A l’intérieur du contour [ C] la fonction à intégrer

æa—l

| nt

est constamment méromorphe parce que le dénominateur est entier et que le numérateur ne cesse d'être olotrope qu’au point x —0 qui lui est extérieur (212**); en outre elle finit évidemment par y avoir le seul infini simple æ = — 1. L'intégration faite dans le sens direct sur ce contour découpé en ses quatre tronçons cidessus énumérés donne donc

X x £ 2 (13) “Je far + [ fade [| fes [ oran

La première de ces intégrales partielles a évidemment pour limite celle d'Euler dont nous cherchons la valeur.

La troisième est égale à la première multipliée par — elt 12m, Effectivement f(xr)={(1+x) 221 (1 +) tele partant de æ —£, au début de toute l'intégration, avec la valeur ini-. tiale (1+ 6) teta-12®, où par hypothèse /(Ë) est réel, arrive en æ—X après le parcours de segment [£X] avec la valeur G+X) te 1%, où {(X) est forcément réel encore. Comme le parcours de la ligne fermée [L] est une révolution directe autour de l’origine, il change /(X}en /(X)+2xc(173**), (180**), (183**), et par suite F(X)—(1 + X)7! ee" en elar1)27i A(X) en partant de X pour revenir en æ sur le segment [ X£], la fonction à intégrer qui part aussi de e(4-1}?2téf{X) atteint donc la valeur ele 0er) dont le dernier facteur est la valeur que la même fonction avait prise au point x lors du calcul de la première intégrale partielle. En d’autres termes, la troisième intégrale est ce que devient la première quand on y multiplie la fonction sous le signe par la constante et#- 127 el qu’on en renverse les limites, c’est-à-dire quand on multiplie cette première intégrale par el2= 127 puis par — 1.

La quatrième intégrale et la deuxième tendent vers o, comme on s’en assure immédiatement en les calculant au moyen des séries (14) et (15) du n° 26.

Quant au résidu, il est la valeur atteinte par le produit

(æ +1) f(æ) = ele)

au bout de quelque chemin tracé de x —6#, par exemple, à æ = — 1 à l’éntérieur du contour général [C]. Ce chemin, exécutant une demi-révolution directe autour de l’origine, conduit nécessairement /(æ), de /(£) à la détermination ré de {( -1) (186** bis), ce qui assigne au résidu la valeur et4- ré,

De toute cette discussion il résulte qu’en représentant par E l'intégrale d'Euler cherchée, la relation (13) donne à la limite

(1 Le ela—1)2mi)E — oncela—1mi, ou bien, en ayant égard à eTi— 1, ei — 1, (eañi— e—-ami)E — in,

résultat équivalent à la formule (17) du n° 26.