CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES
cédé pour calculer l'intégrale définie, déjà considérée au n° 29.
De l’origine O; pour centre, nous décrirons une circonférence de rayon 1 sur laquelle nous prendrons deux valeurs de +, infiniment voisines de la valeur particulière x — 1, savoir +,, æ2, ayant leurs seconds éléments positif et négatif respectivement. Nous appellerons [L] l’are qu'il faut parcourir sur cette circonférence, pour marcher de z, à æ, dans le sens de rotation direct, puis [/]une ligne de longueur infiniment petite, tracée de x: à æ, de manière à avoir tous ses points à l’intérieur de la circonférence, puis enfin [ c| le contour fermé direct, résultant de la soudure des lignes [L], [/].
La fonction Hu
, où le logarithme est précisé par la condition
initiale {(1—x)—0o pour æ—o, est olotrope à l'intérieur du contour | c | puisque +1, seule valeur de x singulière pour {(1— x), LUI = m7) ] x
RS RS RS TIO | te #43 (| o)
n’y tombe pas, et qu'en æ — 0,
trope. En intégrant donc sur le contour [c], décomposé en ses deux tronçons, il vient
(ee, de | LV. 0:
La dernière intégrale partielle est infiniment petite; car en DOS LE, d'où dr — — dt, puis ts = 1 — Ze, —1 — ZX),
ur | Ce) dt,
Où >, £, sont des quantités infiniment petites, et où le chemin d'intégration, superposable à la ligne [/], est de longueur infini-
ment petite aussi.
elle prend la forme
L2 t LA « En remplacant ensuite DAT 1 + —— et ayant égard à 3 | = 24 t O
fl(tdt=tt(t)—1t+0cC, nous écrirons
un e [ (€) dt=h—u+a[(e]+ [| ee LE 3 ï
Or, premièrement, l’intégrale du second membre est infiniment petite parce que le chemin d’intégration est tel et que, à cause de Him{i/(t)]—o pour limt—o (187**), on peut assigner sur ce
chemin une limite supérieure finie, et même infiniment petite au module de la fonction à intégrer: deuxièmement, les termes 4», — t, le sont d'eux-mêmes; enfin Af[#/(t)]= &, (4) — to l(ts) l'est aussi pour la cause ci-dessus et parce que le chemin conduisant de {, à {, ne peut exécuter même une seule révolution complète autour du point { — 0.
À la limite, la relation (14) donne donc
LG E 1: 6; er CE é Æ
l'intégration étant faite de x — 1, à x — 1 sur la totalité de notre circonférence parcourue dans le sens direct.
La substitution æ — eë — cos4 +1 sin 0 (236**), d’où dx = tei db, change cette égalité en |
Le
(15) [ L(1 — cos — rsin6) dô —0,
parce que Z— eit parcourt le chemin d'intégration précédent quand 0 croît de o à 27 (201**, V ); et celle-ci donne en particuhier
(16) [ [(2 — 2 cos0) dû — 0,
ai)
parce que la partie réelle de l’intégrale (15) s’obtient en réduisant le logarithme à sa partie réelle, c’est-à-dire au logarithme réel de
1 L mod(i— cosô—zsin0)=[(1-— cos0)?+ sin20]?2—(2—2cosû)? (178**), . FRA ! :
et par suite à = [(2 — 2 cos).
4 LES 4 Comme on a 1 — cos8 — 2 sin? -, d’où ;
[(2 — 2 cosû) — JE sin; ) = 2 | 42) -+ sine | ;
la formule (16) donne
2H 0 2H 0 Î VOSIONIPETOES | L(sinz ) 40 = 0.
0 es 0 x
Il vient ensuite en posant 0 — 27, d’où dû — 2 dr,
2H 0 T JF L(sinz ) di =2 f l(sinr) dr, 0 2: 0
