UT

WA

Par tout ce qui précède on est immédiatement ramené à la formule (22) du n° 29.

39. Certaines intégrales définies que le théorème de Cauchy ne permet pas de calculer directement peuvent néanmoins, par son emploi, être ramenées à d’autres déjà obtenues par des moyens différents. Telles sont les intégrales réelles, dites de

Fresnel, Le) Le U SI cosæ? dx, vu sin x? dx, 0 0

ayant pour chemin commun la partie positive de l’axe des quanuités réelles, et dont nous allons déduire ainsi la valeur de la formule (13) du n° 28.

La racine principale directe 8i"e de l’unité, aa tiat— p(+) GAS), est une racine carrée de { — (+) à cause de E 1 .

PCP= PH) =D) (I):

ses éléments 4/, &” sont des quantités positives, parce que ceux de P(u) sont tels pour u << +(101**, IV); on a de plus «= 4"— V2

à cause de (a+ 14”)? — x? — 4"? Loia'a"— 1, d'où «'?— &"?—0,

24 #"—1, puis «?—+. Cela posé, nous composerons un contour

fermé avec les segments rectilignes conduisant de æ = 0 à x — %", puis der — là z — «, puis de ®— «à æ — 0, et nous appellerons [c] un contour homothétique à celui-ci par rapport à l’origine O;, construit avec un rapport de similitude infini.

Comme e-* est une fonction indéfiniment olotrope, l’intégrale fe*’ dx prise sur le contour [c] est nulle; d’où l’on conclut en décomposant ce chemin en ses trois tronçons rectilignes

pu PA 0 (17) 1 ee dr + [l É PIQE + f te 1 | 0 pa px

De ces trois intégrales, la première a évidemment pour limite celle dont la valeur est fournie par la formule (18) du n° 98, c'est-à-dire 2 4/r.

Ensuite nous prouverons que la seconde tend vers zéro, en commençant par y poser x — p#'+iot, d'où dx = io dt, ce qui la change en

La (18) i | perpAR?i)ei2pet TE, Û

où l'intégration doit se faire sur la partie positive de l’axe des valeurs réelles de £; car, € marchant ainsi de o à = 0", x — pa'+ ip décrit le segment rectiligne unissant les points palet sa! + 1pal = pa; il en résulte que le module de la fonction à intégrer est constamment égal à peP"# 9, Comme : EE = (51118) est une quantité négative infiniment petite (187**), la quantité réelle

a une racine carrée positive 7 << 4’ et tendant vers «/; nous pourrons donc partager le segment [ox] en deux tronçons variables (avec p) savoir : l’un [o+] de longueur << 4’, l’autre [+4] de longueur a'—7 infiniment petite, et par suite décomposer l’intégrale figurant dans l’expression (18) en

T a Î p erPAL—E) e—i2p9d't ét + s. RETR IN FE?) e— PONS 0 3

Sur le premier de ces nouveaux chemins, { ne peut surpasser

ee I L T—= Cénx FE ; on y a donc sans cesse

pr(a?—0)> p2(a2—T)> ea () ;