ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

Propriétés générales des équations linéaires quelconques.

40. Une équation différentielle est dite linéaire, quand elle ne contient que des termes dont chacun est le produit de quelque fonction donnée des variables indépendantes par une des fonctions inconnues seulement, ou bien par une de ses dérivées. Les équaons de ce genre sont remarquables par la simplicité relative que celte forme spéciale confère à leurs propriétés générales, el aussi par leur immixtion dans certains problèmes de Mécanique d’un haut intérêt.

Le système du premier ordre équivalent à un système linéaire quelconque (285*) l’est forcément aussi, parce que la même propriété appartient en fait aux diverses équations auxiliaires dont cette transformation exige l’adjonction. Il suffit donc de s'occuper des systèmes du premier ordre, et même, parmi ces derniers, nous considérerons seulement ceux qui sont immédiats, aux différentielles totales et à une seule variable indépendante (286*), (287*).

En appelant x la variable indépendante, u, », ...,t les g fonctions inconnues, les systèmes de ce genre ont pour type évident

du ss / = K, + A: u + B10—+...+ H.t, do ; :

() lÉ=ReAutBet+..+ dt p = K + Agu a. B,? AE ay H, £,

où K,, ÀA,,..., H,, K:, ..., H, désignent 2 (29 +1) fonctions