CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLÉS ÉLÉMENTAIRES

données de x seulement, et l'existence de leurs intégrales ordinaires n’est subordonnée à aucune condition de passivité (299*).

41. Le titre exclusivement linéaire auquel &w, 6, ..., € entrent dans les seconds membres des équations (1), entraîne plusieurs

conséquences à noter tout d’abord.

I. Les seuls systèmes de valeurs de ces quantités et de x pour lesquels ces seconds membres ne sont pas tous olotropes sont ceux où x a une valeur qui est singulière pour quelqu'une Hnunerons KR, A1, ...,H.. C’esbévident.

Il. Les équations (1) n'ont Jamais d’intégrales singulières.

Il résulte effectivement de l'observation précédente (1), que «,

P, ..., { n'entrent pas dans les équations finies (2) PAPE Se. 0; Wa(T, NEO) FLE el

à adjoindre aux équations (1) pour former toutes celles qui déterminent les intégrales singulières (379*). Des intégrales de ce genre ne sauraient donc exister, puisque les équations (2), même seules, ne peuvent être identiquement satisfaites par la substitution à w, ©, -.., t d’aucun groupe de fonctions de x.

II. On peut développer les intégrales ordinaires par la formule de Taylor, et cela, quelques valeurs initiales u6, Po, +. lo qu'il aura plu de leur attribuer, à partir de toute valeur initiale x, de x pour laquelle aucune des fonctions K,, A,,..., He ne cesse d’être olotrope (301*).

IV. Ces intégrales ordinaires contiennent linéairement leurs valeurs initiales 6, Po, : -+ Lo, Supposées indéterminées.

Her Mt ; 4 ; du La différentiation des équations (1) fournissant pour RE TU

ee des expressions linéaires en ©, et ces dérivées pre TER 2 É ———— CRC] — S k eZ dx? P dx” ? dx’ P mières s'exprimant linéairement elles-mêmes par ces mêmes équa-

tions au moyen de w, ...,t, leur élimination rendra forcément

linéaires aussiles expressions ulumes des dérivées secondes en quesuon (290*); et l’on s’assurera de la même manière que l'expression

ulume de toute dérivée de u, ..., t conserve indéfiniment la même forme linéaire.

En appelant aimsi K(z), AP{x), 2... CROSS fonctions de x seulement, on aura par exemple, pour toute valeur de l'indice m,

dmn+1 U daxm+ 1

— KO (>) + AU (RTE HAE D'OUMDOULETIE TT

dm+iy (re Le KP (x) + Afro) uo +... Her, moyennant quoi le coefficient de (x — x,)”*1 dans le développement de w est toujours linéairement composé de ws, .:., to. Comme cette série converge pour toutes valeurs de ces quanuités (IIL), 1l en est évidemment de même pour les g + 1 séries auxquelles elle se réduit quand on y substitue à son coefficient général, d’abord sa partie indépendante de &w5, P9, --., Lo, puis celles qui y multiplient chacune de ces mêmes quantités respectivement. En désignant donc par (Vu(x), ('u(x), ..., @ufæ)Mles sommes de ces g + 1 séries,

(4) u=Wu(r)+uwWu(r)+vl2lu(x) +...+ to @)u(x)

sera Ja forme du premier développement de l'intégrale w, celle aussi de tous ses développements subséquents par suite; et de MÉME DOUCE, : : 0

V. Les intégrales des équations (1) restent olotropes (finies en particulier) ausst longtemps que les fonctions données K,, À,,..., H, le demeurent toutes elles-mêmes.

Les fonctions (Vyfx), Wu(x), CNSlu(x), (ACER figurent dans la formule (4) et dans celles analogues intéressant #, ..., € dépendent de x,,,mais nullement def ce qui est évident. Îl en résulte que le plus grand rayon de convergence commun aux développements de toutes les intégrales, qui est précisément le même que pour ceux de ces g(g + 1) fonctions, ne dépend absolument que de x, et que pour toutes valeurs de cette quantité tombant dans une aire limitée S, où les fonc-