CHAPITRE IIIL — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES. GI

tions K,, ... sont toutes olotropes, on pourra l'obtenir en assujettissant wo, ..., {o à rester intérieures à des aires limitées S,, Sy, -.., S que l’on tracera arbitrairement. Or les seconds membres des équations (1) étant des fonctions olotropes de x, U, #, ..., & dans toutes ces aires, la théorie générale (301*) fournit toujours pour ce rayon une limite inférieure <0, en suite de quoi les intégrales w, v, ...,4 sont fonctions olotropes de æ dans l'aire S; quelque étendue que celle-ci ait d’ailleurs, ce qu'il suffisait de constater.

VI. Il en résulte que les seules phases critiques de nos intéorales sont fournies & priori par les valeurs

ta ü,

de +, pour’ lesquelles quelqu’une des fonctions K,, ... cesse d’être olotrope, qu'à parur d’une valeur quelconque x, de æ n’appartenant pas à celte suite, les développements des intégrales admettent des rayons de convergence au moins égaux au plus petit des modules des différences (a — x4), ..., (201*), et finalement que, si les fonctions K,, ... sont indéfiniment olotropes, les intégrales le sont elles-mêmes toutes aussi.

42. Nous venons de constater implicitement (41, IT) que toutes les intégrales des équätions (1) sont renfermées dans leurs intégrales générales (384*). À celles-ci on peut donner la forme

u = Ou LC Wu+RCBu+...+@BC (su, (6) ( RAP UC A) j'en: + (g)C (874

où (Ou, ... sont g(g +1) fonctions de x seulement, et où WC, ..., &C représentent les g constantes arbitraires (383"). Plus brièvement, on peut toujours faire en sorte que les constantes arbitraires y entrent linéatrement.

Les formules analogues à (4) rendent ce point évident dans Île cas où on laisse les valeurs initiales jouer le rôle de constantes arbitraires. Pour obtenir la forme plus générale (6), il suffit d’s substituer à wo, ..., to des fonctions linéaires de (1C, ..., (8C,° dont le déterminant des coefficients ne soit pas nul (383*, HT).

Cette forme est celle que l'on considère exclusivement à cause de sa simplicité. On notera que le déterminant des foncions Mu, ..., (84, qui y multiplient les constantes arbitraires, ne peut s'évanouir que pour les valeurs de x appartenant à la suite (5). C’est effectivement le déterminant différentiel des intégrales générales pris par rapport aux constantes arbitraires

(LOGO LCER

43. L'absence dans les équations (1) des premiers termes K,, ..., K; de leurs seconds membres rend ceux-ci homogènes par rapport à &w, F, ..., {, et fait acquérir au système des propriétés spéciales.

I. Les intégrales générales peuvent, par rapport aux constantes arbitraires, être supposées non seulement linéaurr'es,

mais encore homogènes.

Car la nullité identique de ces premiers termes entraîne évidemment celle des fonctions analogues K°”(x), ... dans les relaions ultimes (3) ..., et par suite celle des fonctions (Ou(x), ... dans toutes les relations du genre de (4). Il s'ensuit que les premiers termes (0, ..., (0); des seconds membres des formules (6) seront identiquement nuls aussi, pourvu que l’on ait pris homo-

gènes les expressions de u5, Pen CNE

IT. Se les fonctions qui constituent chaque colonne du Ta-

bleau | | (y, Ou, À (4) 7 (Do. (2)ç (A) (Z) ( | U}#, (2)7 nt (Ag,

sont des intégrales particulières quelconques du système (1); et st (NC, ..., OC représentent k constantes arbitraires, les fonc-

lions

OC Wu... +WCWu, (8) {

| CHOUE 2 Pr ENErS

sont aussi des intégrales du même système.